Una cierta tienda de helados tiene 31 sabores de helado disponibles. ¿De cuántas formas podemos...

Question

Una cierta heladería tiene 31 sabores de helado disponibles. ¿De cuántas formas podemos pedir una docena de conos de helado si el chocolate, uno de los 31 sabores, no puede ser pedido más de 6 veces?

$\dbinom{31 + 12 - 1}{12}$ sería el número total de casos si no fuera por la restricción del chocolate no más de 6 veces. Para corregir esto podríamos restar los casos inválidos:

• Exactamente 7 conos de chocolate pedidos: $\dbinom{30 + 5 - 1}{5}$ -> 30 porque el chocolate ya no es una opción, 5 porque aún debemos llenar 5 conos para tener la docena.
• Exactamente 8 conos de chocolate pedidos: $\dbinom{30 + 4 - 1}{4}
• .
• .
• .
• Exactamente 12 conos de chocolate pedidos: $\dbinom{30 + 0 - 1}{0}

Solución:

$\dbinom{31 + 12 - 1}{12} - ( \dbinom{30 + 5 - 1}{5} + \dbinom{30 + 4 - 1}{4} + \dbinom{30 + 3 - 1}{3} + \dbinom{30 + 2 - 1}{2} + \dbinom{30 + 1 - 1}{1} + \dbinom{30 + 0 - 1}{0} )

¿El razonamiento es correcto? En caso afirmativo, ¿podemos evitar la suma de los casos inválidos? Esto podría complicarse; supongamos 155 sabores y una restricción de no más de 30 veces.

Gracias.

Answer 1

Te puedes deshacer de los casos. Como dices, hay $\binom{12+31-1}{31-1}=\binom{42}{30}=\binom{42}{12}$ formas sin la restricción. Para contar las formas inaceptables, nota que cada forma 'mala' tiene al menos siete conos de helado de chocolate, por lo que en realidad estás contando el número de formas de ordenar ($7$ conos de helado de chocolate y) otros $5$ conos sin restricciones. Eso es simplemente el número de formas de ordenar $5$ conos sin restricciones, que es $\binom{5+31-1}{31-1}=\binom{35}{30}=\binom{35}5$, por lo que el número total de órdenes aceptables es

$$\binom{42}{12}-\binom{35}5=11,058,116,888-324,632=11,057,792,256\;.$$

Como verificación, nota que mediante una identidad binomial estándar tenemos

$$\sum_{k=0}^5\binom{k+29}k=\sum_{k=0}^5\binom{k+29}{29}=\binom{5+29+1}{29+1}=\binom{35}{30}=\binom{30}5\;,$

mostrando que esta respuesta es la misma que la tuya.

Answer 2

Su razonamiento es válido. Aquí hay otra forma en la que podrías verlo:

Supongamos que elegimos exactamente $k$ que son de chocolate. Entonces los restantes $12-k$ son elegidos de algo que no sea chocolate; esto se puede hacer de la siguiente manera $$ \binom{30+12-k-1}{12-k} $$ formas. Entonces, la respuesta que queremos es $$ \sum_{k=0}^{6}\binom{41-k}{12-k}. $$ (Puedes verificar, por ejemplo en Mathematica, que esto coincide con tu respuesta anterior.)

Si quisieras expandir al caso de 155 sabores y elegir chocolate no más de 30 veces, obtendrías $$ \sum_{k=0}^{30}\binom{154+(30-k)-1}{30-k}. $$