La terminación de un anillo local noetheriano es un anillo local completo

Question

Hemos definido la terminación de un anillo local noetheriano $A$ para ser $$\hat{A}=\left\{(a_1,a_2,\ldots)\in\prod_{i=1}^\infty A/\mathfrak{m}^i:a_j\equiv a_i\bmod{\mathfrak{m}^i} \,\,\forall j>i\right\}.$$ Tengo un pequeño problema tratando de entender la prueba que entonces $\hat{A}$ es un anillo local completo con ideal máximo $\hat{\mathfrak{m}}=\{(a_1,a_2,\ldots)\in\hat{A}:a_1=0\}$ .

Prueba. Si $(a_1,a_2,\ldots)\in\hat{\mathfrak{m}}$ entonces $a_i\equiv 0\bmod{\mathfrak{m}}$ para todos $i$ es decir, $a_i\in\mathfrak{m}$ . Por lo tanto, $$\hat{\mathfrak{m}}^i=\left\{(a_1,a_2,\ldots)\in\hat{A}:a_j=0\,\,\forall j\leq i\right\}.$$ Así que el mapa canónico $\hat{A}\to A/\mathfrak{m}^i$ , $(a_1,a_2,\ldots)\mapsto a_i$ es suryente con el núcleo $\hat{\mathfrak{m}}^i$ . Así, $\hat{A}/\hat{\mathfrak{m}}^i\cong A/\mathfrak{m}^i$ . En particular, $\hat{\mathfrak{m}}$ es un ideal máximo. Pero, ¿por qué es el único en $\hat{A}$ ?

Si $(a_1,a_2,\ldots)\not\in\hat{\mathfrak{m}}$ tenemos $a_1\neq 0$ Por lo tanto $a_1\not\in\mathfrak{m}$ por lo que es una unidad. Por la propiedad definitoria de la terminación, $a_j$ es una unidad para todos los $j$ . Así que podría elegir un candidato para la inversa de $(a_1,a_2,\ldots)$ eligiendo elementos inversos de la $a_j$ . ¿Por qué este candidato estaría en $\hat{A}$ entonces, es decir, ¿cómo puedo elegirlo adecuadamente de manera que se cumplan las congruencias del lado derecho de la definición de la terminación?

¡Saludos!

Answer 1

Los inversores son únicos. [Si $R$ es un anillo en el que $y, z$ son inversos para $x$ entonces $y = y(xz) = (yx)z = z$ .] Así que si $b_2 \in A/\mathfrak m^2$ es la inversa de $a_2$ entonces su imagen homomórfica en $A/\mathfrak m$ debe ser el inverso de $a_1$ y así sucesivamente.

Se puede pensar en esto de otra manera: cualquier elemento que no esté en $\hat{\mathfrak m}$ puede escribirse como $a + x$ para algunos $a \in A \setminus \mathfrak m$ et $x \in \hat{\mathfrak m}$ y, por tanto, como $a(1 - y)$ para algunos $y \in \hat{\mathfrak m}$ . Entonces $a^{-1}(1 + y + y^2 + \cdots )$ es un inverso.