Presupuestando

Question

Este fue un ejercicio para utilizar el enfoque aquí para la estimación de la suma de $\sum_{p_2 \leq x} \log (p_2)^2,$ en que $p_2$ son números que contiene dos primeros factores (repeticiones permitidas). $\pi_2(x)$ es el número de $p_2$ no superior a x.

Mi pregunta es si he hecho algo ilegal en la adaptación de este método. Los números (abajo) sugieren que funciona. Si alguien pasa a conocer la forma correcta de Una(x) en los que también se agradece. (Edit: Landau, Handbuch, p.203. Yo podría ser capaz de llenar en el error de esto).

$$\sum_{n\leq x} \pi_{2}(n)(\log(n+1)^2-\log(n)^2)$$

$$= \sum_{n\leq x}\pi_2(n)\frac{2\log m}{m} $$

$$= \sum_{n\leq x}( \frac{n\log\log n}{\log n} + O(A ))(\frac{2\log(n)}{n} +O(\frac{\log(n)}{n^2})) $$

$$= 2\log\log n + O(B) $$

Sumando por partes:

$$\sum_{p_2\leq x}\log (p_{2})^2 = \sum_{n\leq x} \log(n)^2(\pi_2(n)-\pi_2(n-1))$$

$$= \log(x)^2\pi_2(x) - \sum_{n \leq x}\pi_2(n)(\log(n+1)^2- \log (n)^2) $$

$$= \log(x)^2(\frac{x\log\log x}{\log x} + O(A) ) - c\log\log x + O(B) $$

$$= x\log x \log\log x - c \log\log x + O(C) $$

Por lo que la suma de los cuadrados de los registros de la cerca-los primos de menos de x es asintóticamente

$$\sum_{p_2 \leq x} \log(p_{2})^2 \sim x\log x \log\log x$$

Algunos números: $$ \begin{array}{r|c|c|c} x&(\sum_{p_2\leq x}\log(p_2)^2) / (x\log x\log\log x)\\ \hline\\ 10000 &0.867 \\ 100000 & 0.918\\ 500000&0.941 \end{array} $$

Answer 1

Dado que la densidad de$P_2$ 's entre los enteros$n < x$ es $$ \ frac {\ log \ log x} {\ log x} $$ se deduce que sus sumas son asintóticamente $$ \ int_ {1 } ^ {x} \ frac {\ log \ log t} {\ log t} \ cdot (\ log t) ^ 2 dt \ sim x \ log x \ log \ log x $$ para que su resultado parezca correcto.

EDITAR: Por cierto, el límite correcto para$A$ es$\ll x / \log x$.

Answer 2

PS

porque $$ \sum \le x (\log{p})^{2} \sim \int_{1}^{x}\log(t)\,dt$