No entendiendo la lógica equivocada en esta prueba.

Question

El problema es :

Supongamos $a,b \in Z$. Si $a^2 + b^2 $ es un cuadrado perfecto, entonces $a$ e $b$ no son ambos impares.

Mi pregunta es ¿por qué no me contesta así:

La prueba por Contradicción -- Suponga $a^2 + b^2 $ es un cuadrado perfecto, y $a$ e $b$ son ambos impares. Deje $a = 5$ e $b = 7$. A continuación, $5^2 + 7^2$ es un cuadrado perfecto. $5^2 + 7^2 = 74$, 74 es un cuadrado perfecto. Sin embargo, sabemos que el 74 no es un cuadrado perfecto. Por lo tanto, hay una contradicción. Así que si $a^2 + b^2 $ es un cuadrado perfecto, entonces $a$ e $b$ no son ambos impares.

Answer 1

La razón por la que esta prueba no es válido es que el cuantificador no está incluido.

La preposición debe ser:

$\forall a,b \in Z, $ si $a^2 + b^2$ es un prefecto de la plaza, a continuación, $a$ e $b$ no son ambos impares.

El contador-positivo de esta noción es:

$\forall a,b \in Z, $ si $a$ e $b$ son ambos impares, a continuación, $a^2 + b^2$ no es un prefecto de la plaza.

Así que uno no debe recoger ejemplo específico para mostrar el contador-positivas que tiene.

EDIT: para aclarar la lógica de la razón, considere el siguiente ejemplo:

El fondo es que el $R$ es una estructura algebraica.

La preposición es: $\forall a,b \in R$ si $a\times b$ es$0$,, a continuación, $a = 0$ o $b =0 $.

¿Cuál es la contra-positivo de esta declaración?

No debe de ser: $\exists a,b \in R$ si $a \neq 0$ y $b \neq 0 $,$a\times b$ no es $0$.

Porque si $R = \mathbb Z/6\mathbb Z$,, a continuación, $a = 2$ e $b =2 $,, a continuación, $a\times b = 4$ no $0$. Pero en $R$ en efecto par$(2,3)$ tal que $2\times 3 = 0$ pero $2$ no es cero y $3$ no es cero. Por lo tanto, no debe ser un contador positiva por la preposición.

Una cosa que debe tenerse en mi mente, es que cuando un contador de la preposición, el cuantificador no debe cambiar de lo contrario uno puede quedar atrapado en la lógica laguna.

Answer 2

La idea de una prueba por contradicción es la que asume algo y a continuación se derivan de una declaración falsa de la asunción, lo que significa que la cosa se supone que debe de haber sido falso.

Se inicia de esta prueba lo suficientemente bien,

Supongamos $a^2+b^2$ es un cuadrado perfecto, y $a$ e $b$ son ambos impares.

Si usted puede demostrar que esta hipótesis solo condujo a una declaración falsa, te gustaría tener una prueba. Pero su siguiente frase es,

Deje $a=5$ e $b=7$.

Esa es otra suposición. Así que ahora que usted realmente ha asumido los siguientes instrucción compuesta,

Supongamos $a^2+b^2$ es un cuadrado perfecto, $a$ e $b$ son ambos impares, $a=5$, e $b=7$.

Desde $a=5$ e $b=7$ implica que $a$ e $b$ son ambos impares, su hipótesis es equivalente a esta hipótesis:

Supongamos $a^2+b^2$ es un cuadrado perfecto, $a=5$, e $b=7$.

Correctamente mostrar que esta afirmación conduce a una contradicción. Así que han probado el siguiente teorema:

Supongamos $a,b \in Z$. Si $a^2 + b^2$ es un cuadrado perfecto, entonces no es cierto que $a=5$ e $b=7$.

Creo que debe ser lo suficientemente claro que este teorema dice mucho menor que el teorema de la que originalmente estaban tratando de demostrar.

Answer 3

Por la misma razón por la siguiente "prueba" está mal:

Deje que n sea un número impar. Deje que n = 3, que sabemos que es primo. Por lo tanto, todos los números impares son primos.

Si desea mostrar que $a$ e $b$ no puede ser impar, no es suficiente para mostrar que ellos no pueden ser 5 y 7. Podrían ser algunos otros números! Incluso si se elimina su un ejemplo de entre los disponibles, todavía es posible que otro trabajo. Tienes que eliminar todos los posibles pares de números impares con el fin de mostrar una verdadera contradicción. El error viene cuando se te "deja" $a$ e $b$ 5 y 7. A la hora de mostrar una contradicción, usted tiene que tratar con el caso más general, CUALQUIER par de números impares. Si desea mostrar, en cambio, que $a$ e $b$, posiblemente, podría ser, incluso, a continuación, el único ejemplo $a=6, b=8$ sería suficiente.

En general, si usted quiere mostrar que PARA TODO enunciado es verdadero, usted necesita para trabajar en el caso general. Si usted quiere mostrar que EXISTE un enunciado es verdadero, necesita de un ejemplo (caso concreto). Si desea mostrar que PARA TODO enunciado es falso, usted necesita un contraejemplo (caso concreto). Y si usted quiere mostrar que EXISTE declaración es falsa, se necesitan para trabajar en el caso general. En resumen, $\forall x (p) = \exists $

Answer 4

sugerencia : considere$\mod 4$. Un cuadrado solo puede ser$0,1 \mod 4$. Tenga en cuenta que esto es una prueba de que para que la suma de dos cuadrados sea un cuadrado nuevamente, ambos no pueden ser impares. Para su prueba, está incompleto, por lo tanto, está equivocado porque su argumento es verdadero solo para el caso$a = 5, b = 7$ pero no cubre todos los casos para$a,b$.