Conjuntos de números reales cerrados bajo adición

Question

Recientemente he tenido algunas preguntas acerca de la cardinalidad y los números reales:

Para cualquier subconjunto infinito $S \subseteq \mathbb R$ , podemos encontrar un conjunto $H$ tal que $S \subseteq H \subseteq \mathbb R$ , de tal manera que $H$ es cerrado bajo la suma y el $|H| = |S|$ ? Podemos exigir $H$ a ser cerrado bajo la multiplicación como bien y todavía tiene este resultado?

No tengo experiencia en este tipo de problemas, pero tengo la sensación de que estas declaraciones son verdaderas. Podía resultados como este se pueden generalizar a aplicar a infinitos subconjuntos de un conjunto arbitrario cerrado bajo algunos (posiblemente infinita) conjunto de operaciones binarias? Muchas gracias!

Answer 1

Las respuestas a todas sus preguntas son sí. La construcción en general se procede a la configuración de $S_0 = S$ y de manera inductiva: $$S_n = \{s+t : s , t \in S_{n-1}\}$$ and letting $H = \bigcup_{i\geq 0} S_i$. It is easy to check that $H$ is closed under addition. Further, we have$$|S_n| \leq |S_{n-1}\times S_{n-1}| \leq |S_{n-1}| + \aleph_0.$$ In the case that $S_{n-1}$ is infinite, we do not need the $\aleph_0$ but you can do this construction in the finite case too. Either way, we have $|H| = |S| + \aleph_0$. Probablemente esto se requiere el axioma de elección o alguna de sus variantes.

Se puede generalizar este a countably muchos $n$-ary operaciones, donde la $n < \omega$ en la forma obvia.

EDIT: tenga en cuenta que $S$ no necesita mentir en algún conjunto donde la operación binaria existe para llevar a cabo esta construcción, se puede llevar a cabo algo como esto definiendo $S_n' = \{(s,t) : s,t \in S_{n-1}$ y definen $s+t = (s,t)$ y el cociente a cabo por los axiomas de la relación binaria en cada etapa.