Descomposición en fase de amplitud como transformación canónica.

Question

Estoy estudiando un clásico sistema dinámico definido en $\mathbb{CP}^2$: el espacio de fase es parametrizadas en función de tres coordenadas complejas $\psi_i$ ($i=1,2,3$) y Hamilton ecuaciones de movimiento a tomar la forma,

$$\imath \frac{d\psi_i}{dt} = \frac{\partial H}{\partial \psi_i^*},\quad \imath \frac{d\psi_i^*}{dt} = -\frac{\partial H}{\partial \psi_i}.$$

Me gustaría hacer una amplitud-fase de descomposición, sustitución de los tres complejos de coordenadas y sus conjugados, $\{\psi_i, \psi_i^*\}$, con seis reales $\{n_i, \phi_i\}$, con

$$\psi_i = \sqrt{n_i} \exp(\imath \phi_i)$$

Pero esta transformación no parece ser canónica: en lugar de la habitual,

$$\nabla_\xi \Theta \cdot \Omega \cdot \nabla_\xi \Theta = \Omega,$$

donde $\nabla_\xi \Theta$ es el Jacobiano de la transformación y de la $\Omega$ es el simpléctica bloque de la matriz, tengo,

$$\nabla_\xi \Theta \cdot \Omega \cdot \nabla_\xi \Theta = \frac{1}{\imath}\Omega.$$

Es la amplitud de la fase de descomposición no canónica de la transformación? O ¿me equivoco?

Estoy seguro de que este es un problema estándar, pero soy muy nuevo en la idea de la dinámica clásica de los complejos colectores y no he conseguido mi rodamientos todavía. Cualquier referencia sugerencias serán bienvenidas!

Answer 1

Por simplicidad, consideremos el 1-d caso, con $\psi =\sqrt{n} e^{2i\phi}$, luego

$$i \psi_t =\frac{i}{2} \frac{\dot{n}}{\sqrt{n}} e^{2i\phi} -\sqrt{n} e^{2i\phi} 2\dot{\phi}.$$

Del mismo modo

$$ \frac{\partial H}{\partial \psi^*} = \frac{\partial H}{\partial n}\frac{\partial n}{\partial \psi^*} + \frac{\partial H}{\partial \phi}\frac{\partial \phi}{\partial \psi^*} = 2\sqrt{n} e^{2i\phi} \frac{\partial H}{\partial n} + \frac{i}{2\sqrt{n}} e^{2i\phi} \frac{\partial H}{\partial \phi}.$$

Igualando las partes real e imaginaria (con H reales), tenemos

$$\frac{d n}{dt} = \frac{\partial H}{\partial \phi}; \quad \quad \frac{d \phi}{dt} = -\frac{\partial H}{\partial n}.$$

El otro consejo de la ecuación de $d \psi^*/dt$ da la misma información. Por lo tanto, $(n,\phi)$ son variables canónicas.

$\textbf{EDIT}$: Como Ted Pudlik señalado correctamente, el anterior razonamiento es incorrecto. Por qué? Bueno, es porque estaba siendo descuidado y tengo poco. Vamos a intentarlo de nuevo.

Como de costumbre, tenemos que trabajar en el orden de la acción con el fin de obtener coherente de los resultados.

Considere la posibilidad de $$ S = \int i\dot{\psi}\psi - H dt.$$

Hamilton principio de la dinámica del sistema se da cuando la $S$ es estacionaria, y de hecho esto se obtiene el conjunto de las ecuaciones de Hamilton originalmente declaró.

A continuación, se consideran una acción diferente, $S'$ se define como

$$S' = \int -2n\dot{\phi}- 2H' dt$$

para algunos indeterminado $H'$. Hamilton principio de rendimiento (1) con $H\to H'$.

Para $S$ e $S'$ a dar la misma dinámica, se debe difieren por una constante, es decir,

$$S-S' =\int \frac{d f}{dt} \ dt$$

para algunos la función $f$. Ahora, cuando se sustituye en nuestras acciones, nos encontramos con

$$ \int -2n\dot{\phi} +\dot{n} -H +2n\dot{\phi} + 2H' \ dt $$

El perfecto derivados integra a 0 (asumimos que la onda es compacto en el tiempo) y nos quedamos con el requisito de que para la transformación canónica, $2H' \equiv H$, como usted ha señalado en su comentario.

Answer 2

Después de pensar en Nick P la respuesta y volver a leer el capítulo correspondiente de Sussman la Estructura y la Interpretación de la Mecánica Clásica, se me ocurrió la siguiente elaboración de Nick argumento. No es a prueba de agua, pero no me convenció, y tal vez esto ayude a alguien más. Voy a utilizar Sussman poco ortodoxo, pero precisa de notación.

El primer paso (y esta es la parte que yo no puedo justificar rigurosamente) es ampliar la definición del espacio de la fase operador de la derivada. La definición dada por Sussman en Eq. (5.15) es,

$$D_s H(t,q,p) = (1,\partial_2 H(t,q,p),-\partial_1 H(t,q,p)).$$

La extensión vamos a hacer es definir $D_s$ para Hamiltonianos que son funciones de complejo conjugado de coordenadas y momentos como,

$$D_s H(t,\psi,\psi^*) = (1,-\imath \partial_2 H(t,\psi,\psi^*),\imath \partial_1 H(t,\psi,\psi^*)).$$

Con esta extensión, Hamilton ecuaciones pueden ser escritas en la misma forma para ambos la costumbre real y el complejo de coordenadas:

$$D \sigma = D_s H \circ \sigma,$$

donde $\sigma(t) = (t, q(t), p(t))$ o $\sigma(t) = (t, \psi(t), \psi^*(t))$, una asignación de tiempo en el espacio de fase posición, representa una ruta de acceso.

Ahora, vamos a $C$ ser un espacio de fase de transformación de coordenadas: $\sigma = C \circ \sigma'$. La transformación es canónica si existe un nuevo Hamiltoniano $H'$ de manera tal que las ecuaciones de movimiento derivado de describir el mismo movimiento del sistema. Una condición suficiente para que este se Eq. (5.19),

$$D_s H \circ C = DC \cdot D_s H'.$$

Te voy a mostrar que la transformación,

$$(t, \psi(t), \psi(t)^*) = C(t, n(t), \phi(t)) = (t, \sqrt{n} e^{\imath \phi}, \sqrt{n} e^{-\imath \phi})$$

satisface esta condición por cualquier $H$, y que, además, la $H' = H \circ C$, es decir, el nuevo Hamiltoniano puede ser obtenido a partir de la antigua simplemente sustituyendo $\sqrt{n} e^{\imath \phi}$ para $\psi$. (Esto no suele ser el caso: por ejemplo, no es el caso para la transformación de $\psi = \sqrt{n} e^{2\imath \phi}$ discutidos por Nick.)

El lado izquierdo de la condición suficiente es,

$$D_s H(t, \psi, \psi^*) = (1, -\imath \partial_2 H(t,\psi,\psi^*), \imath \partial_1 H(t,\psi,\psi^*))$$ $$(D_s H \circ C)(t, n, \phi) = (1, -\imath (\partial_2 H) \circ C, \imath (\partial_1 H) \circ C)$$

Aquí, $\partial_1$ es la derivada parcial con respecto al primer argumento (es decir, $\psi$: siguiente Sussman, estoy usando de base cero de la indización, donde el tiempo es el cero argumento).

En el lado derecho, el Jacobiano de la transformación es,

$$CC = [\partial_0 C, \partial_1 C, \partial_2 C] = \begin{bmatrix} \begin{pmatrix} \partial_{0,0} C \\ \partial_{0,1} C \\ \partial_{0,2} C \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} \partial_{1,0} C \\ \partial_{1,1} C \\ \partial_{1,2} C \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} \partial_{2,0} C \\ \partial_{2,1} C \\ \partial_{2,2} C \end{pmatrix} \end{bmatrix}$$

y así, el lado derecho se lee,

$$DC \cdot D_s H' = \begin{pmatrix} \partial_{0,0} C + \partial_{1,0} C \partial_2 H' - \partial_{2,0} C \partial_1 H' \\ \partial_{0,1} C + \partial_{1,1} C \partial_2 H' - \partial_{2,1} C \partial_1 H' \\ \partial_{0,2} C + \partial_{1,2} C \partial_2 H' - \partial_{2,2} C \partial_1 H' \end{pmatrix}.$$

El único distinto de cero elementos del Jacobiano son,

$$\partial_{1,2} C = \frac{1}{2\sqrt{n}} e^{-\imath \phi},$$ $$\partial_{2,2} C= -\imath \sqrt{n} e^{-\imath \phi},$$ $$\partial_{1,1} C = \frac{1}{2\sqrt{n}} e^{\imath \phi},$$ $$\partial_{2,1} C = \imath \sqrt{n} e^{\imath \phi},$$ $$\partial_{0,0} C = 1.$$

El canonicity condición se reduce a que el sistema de ecuaciones,

$$-\imath (\partial_2 H) \circ C = \partial_{1,1} C \partial_2 H' - \partial_{2,1} C \partial_1 H'$$ $$\imath (\partial_1 H) \circ C = \partial_{1,2} C \partial_2 H' - \partial_{2,2} C \partial_1 H'$$

La solución para $\partial_1 H'$ da,

$$\imath (\partial_{2,2} C \partial_{1,1} C - \partial_{2,1} C \partial_{1,2} C) \partial_1 H' = \partial_{1,2} C (\partial_2 H) \circ C + \partial_{1,1} C (\partial_1 H) \circ C.$$

La cantidad entre paréntesis de la izquierda es exactamente $-\imath$, por lo que el uso de la regla de la cadena,

$$\partial_1 H' = ((\partial_2 H) \circ C ) \partial_{1,2} C + ((\partial_1 H) \circ C) \partial_{1,1} C = \partial_1 (H\circ C).$$

Similar relación se mantiene para $\partial_2 H'$. Por lo tanto, la transformación puede ser hecho canónica uso de la "natural" elección de $H' = H \circ C$.