Una función $M:\left(\mathbb{R}^{n}\right)^{k}\to\mathbb{R}$ , escrito $M\left[\mathfrak{a}_{1},\dots,\mathfrak{a}_{k}\right]$ ; donde $\mathfrak{a}_{i}\in\mathbb{R}^{n}$ se dice que k-multilínea en $\mathbb{R}^{n}$ si es lineal en cada uno de sus argumentos. Se dice que es alternando si
$$M\left[\dots,\mathfrak{a}_{i}\dots,\mathfrak{a}_{i},\dots\right]=0.$$
Es decir, si cualquier par de argumentos son iguales. O, lo que es lo mismo, si al intercambiar un par de argumentos se invierte el signo aritmético de la función. Es decir, si $$M\left[\dots,\mathfrak{a}_{i}\dots,\mathfrak{a}_{j},\dots\right]=-M\left[\dots,\mathfrak{a}_{j}\dots,\mathfrak{a}_{i},\dots\right].$$
Por ejemplo, $D:\left(\mathbb{R}^{n}\right)^{n}\to\mathbb{R},$ el determinante de un $n\times n$ matriz escrita en función de los vectores columna
$$D\left[\mathfrak{a}_{1},\dots,\mathfrak{a}_{n}\right]=\left|\begin{bmatrix}a_{\cdot1}^{1} & \dots & a_{\cdot n}^{1}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{\cdot1}^{n} & \dots & a_{\cdot n}^{n} \end{bmatrix}\right|,$$
es una función de este tipo.
Edwards es condescendiente:
Obsérvese que toda función lineal sobre $\mathbb{R}^{n}$ se alterna automáticamente.
¿Cómo puedo intercambiar o igualar un par de argumentos en la función $L\left[\mathfrak{a}\right]\in\mathbb{R}$ ?
O bien, ¿por qué debería concluir que una "función 1-multilínea" es alterativa?
