Analizando la Identidad de Euler

Question

From Wikipedia: "La identidad de Euler es un caso especial de la fórmula de Euler de análisis complejo, que establece que para cualquier número real x,

$$ e^{ix} = cos(x) + isin(x) $$

donde las entradas de las funciones trigonométricas seno y coseno se dan en radianes."

Si $ e^{i\pi}=-1 $, entonces se calcula en radianes.

Parece haber un número infinito de soluciones que dan -1 porque x se calcula en radianes, de modo que cualquier valor de $x$ que sea un múltiplo impar positivo o negativo de π dará -1

Ejemplos:

• $$ e^{i} = -1 $$
• $$ e^{i(-)} = -1 $$
• $$ e^{i3} = -1 $$
• $$ e^{i(-3)} = -1 $$
• $$ e^{i5} = -1 $$
• $$ e^{i(-5)} = -1 $$

Pregunta: Dado que $ cos(x) + isin(x) $ es idéntico a $ e^{ix} $

Y cos() + isin() en grados no es igual a -1

¿Hay alguna manera de calcular una respuesta a $ e^{i\pi} $ sin usar grados o radianes? Como lo harías con un problema simple como $$ 3^2=9 $$

Answer 1

$$e^{x}=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}\cdots$$ Basado en las reglas de expansión de Taylor $$e^{ix}=1+ix+\frac{(ix)^2}{2}+\frac{(ix)^3}{6}...$$ Sustituyes $ix$ por $x$ y simplificas todo lo que notas $$=1+ix-\frac{x^2}{2}-\frac{ix^3}{6}+\frac{x^4}{24}\cdots$$ ¡que puedes simplificar en dos sumas [bastante reconocibles]! $$=(1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}\cdots)+i(x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}...)$$ Por reconocible me refiero a las expansiones de Taylor de seno y coseno. $$e^{ix}=\cos(x)+i\sin (x)$$ Sustituye $\pi$ y obtienes $$e^{i(\pi)}=-1+i*0=-1$$

¡Todo lo que realmente tienes que saber son las Sumas de Taylor!

Answer 2

Puedes expandir el polinomio de Taylor para $e^{i\pi}$: $$ e^{i\pi} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(i\pi)^k}{k!} = 1 + i\pi - \frac{\pi^2}{2} \cdots$$

Answer 3

¡Sí! Simplemente escribe $-1$ como lo hiciste. No hay radianes en esta representación de $e^{i\pi}$. Lo único es que hay más de una forma de escribir este número, usando radianes. De hecho, cualquier número complejo, excepto el cero, puede ser escrito de infinitas formas con la forma $\cos(x)+i\sin(x)$ y de solo una forma con la forma $a+ib$.