Esta es una pregunta de Dummit y Foote. Todavía soy un novato en álgebra así que cualquier comentario sobre mi trabajo sería apreciado!
Deje $G$ ser un grupo y vamos a $G$ acto en sí mismo por la izquierda de la conjugación, por lo que cada $g \in G$ mapas de $G$ a $G$ por
\begin{align*} x\mapsto gxg^{-1} \end{align*} Fijo $g \in G$, demostrar que la conjugación por $g$ es un isomorfismo de $G$ sobre sí mismo (es decir, un automorphism de $G$). Deducir que $x$ y $gxg^{-1}$ tienen ese mismo orden para todos los $x \in G$ y que para cualquier subconjunto $A$ de $G$, $\vert A \vert=\vert gAg^{-1}\vert$ (aquí $gAg^{-1}= \{gag^{-1}\vert a \in A\}$.)
Tome $g \in G$. Nos muestran que $\sigma_{g}:G \rightarrow G$ definido por $\sigma_{g}(x) = gxg^{-1}$ es un homomorphism y es bijective. En primer lugar, nos muestran que la $\sigma_g$ es homomorphism. Tome $x,y \in G$. \begin{align*} \sigma_g(xy) &= g(xy)g^{-1} \\ &= gxg^{-1}gyg^{-1} \\ &= \sigma_g(x) \sigma_g(y) \end{align*} Por lo tanto, $\sigma_g$ es homomorphism. En segundo lugar, muestran que la inyectividad mostrando $ker(\sigma_g) = \{1\}$. Supongamos, $gxg^{-1}=1$. A continuación, \begin{align*} xg^{-1} &= g^{-1} \\ x &= g^{-1}g = 1 \end{align*} Por lo tanto, $ker(\sigma_g) = \{1\}$. Ahora, mostramos $\sigma_g$ es surjective. Tome $g \in G$. Entonces, para $x = g^{-1}yg \in G$ (desde $G$ es un grupo, $x \in G$), $g(g^{-1}yg)g^{-1} = y$. Por lo tanto, $\sigma_g$ es bijective y se deduce que es un isomorfismo. Desde $\sigma_g$ es isomorfismo, de ello se sigue que para cada $x \in G$, $|x| = |\sigma_g(x)|=|gxg^{-1}|$. Además, desde el $\sigma_g$ es bijective en $G$, $\sigma_g$ es bijective en $A \subset G$. En particular, $\sigma_g$ es inyectiva cuando se limita a $A$. Por lo tanto, $|A|= |im(\sigma_{g|A})|=|gAg^{-1}|$.
