Maxwell-Área De Construcción De Problema

Question

Yo soy la solución de un problema que pide encontrar la ecuación de una línea horizontal que cruza la gráfica de $$y=x^3-3x+1$$ en tres puntos distintos, de tal manera que las dos áreas delimitadas por tales curvas son iguales.

Estoy creando un programa para este problema. Lo que hice es para resolver las raíces, o de los puntos de intersección de las 2 curvas (decir $a,b,c$) analíticamente. Supongamos que la línea horizontal, que toma la forma $y=y_p$. Las raíces son funciones de la $y_p$ solamente. Luego he utilizado compuesta de Simpson de 3/8 regla de cálculo para las áreas que deben ser numéricamente iguales. Llegué $y=1$ como la respuesta final.

Mi problema es, como una alternativa desde fórmulas analíticas de las ecuaciones cúbicas es muy tedioso código, es posible hallar las raíces por el método de Newton incluso si $y_p$ es aún desconocido?

Answer 1

Sugerencia de La gráfica de cualquier función cúbica $$f(x) := A x^3 + B x^2 + C x + D ,$$ $a \neq 0$, is symmetric about its unique inflection point: We can show this by solving $f"(x) = 0$ to show that the unique inflection point is $(s, f(s))$, where $s := -\frac{B}{3}$, and then showing that $x \mapsto f(x - s) f(s)$ es una función impar.

Sugerencia adicional, de Modo que, por simetría, la línea horizontal debe pasar a través del punto de inflexión, y por lo tanto es la ecuación de con $y = f(s)$.

Tenga en cuenta que simplemente apelando a la simetría se puede evitar la realidad de computación en los puntos de intersección o de las áreas de las regiones delimitadas, que al igual que la pregunta indica, es terriblemente desagradable, teniendo en cuenta la dificultad de la extracción de raíces de general cúbicas.

Answer 2

SUGERENCIA:

La ventaja de la diferenciación es obvio. El derivado tiene raíces $ x = \pm 1 $ para extremal puntos. Parece que la constante arbitraria en $ y = x^3 - 3 x + C $ es mucho más fácil de manejar, donde el cúbicos se desplaza de forma arbitraria paralelo a $y-$eje.

Answer 3

la simétrica de la función sobre la original es la que hay en todos los términos de la ecuación (excepto el $1$, por lo que si vamos hacia abajo de la ecuación por uno, la función será simétrica. $$y=x^3-3x$$

ahora podemos concluir que la $y=1$ es la ecuación de la línea horizontal