la n-ésima de las raíces de la unidad sumar a $0$

Question

Deje $\zeta = e^{2\pi i/n}$ ser $n$-ésima raíz de la unidad, y deje $S = \{\zeta^m|m=0,1,\ldots,n-1\}$ ser los conjuntos correspondientes de todos los $n$-th raíces de la unidad.

Deje $k \leq z$. Deje $C \subseteq S$ tal que $k=|C|$.

Hice siguiente conjetura, pero de momento soy incapaz de demostrarlo:

A continuación, $\sum_{c\in C} c = 0$ implica que el $k= |C|$ es $\mathbb Z$-combinación lineal de estricta divisores (divisores estrictamente greather de 1) de $n$.

Esto parece plausible, y lo he comprobado hasta el $n=15$. Para $n=15$ tenemos el interesante caso de que el recíproco no se cumple para $k=11 = 1\cdot 5 + 2 \cdot 3$. Otra observación que podemos usar es que para $C \subset S$ tenemos la equivalencia $$\sum_{c \in C} c = 0 \iff \sum_{d \in S \setminus C} = 0$$ which is quite obvious when you consider that $\sum_{s\in S s} = 0$.

Así que ¿alguien puede probar o refutar esta hipótesis?

Answer 1

Esto es cierto, de hecho, un poco más es verdadero, es decir que es una combinación con un resultado positivo de los coeficientes (que es probable que la intención). Si uno permite que las repeticiones de las raíces, entonces el recíproco es cierto.

Esto es una consecuencia de que el principal resultado de la siguiente papel.

T. Y. Lam y K. H. Leung, SEÑOR 1736695 En fuga sumas de raíces de la unidad, J. Álgebra 224 (2000), no. 1, 91--109.

A continuación se resumen:

Un problema no resuelto en la teoría de números frecuentes los siguientes: Para un determinado número natural $m$, ¿cuáles son los posibles números enteros $n$ para las que no existe $m$-th raíces de la unidad $\alpha_1, \dots, \alpha_n \in \mathbb{C}$ tal que $\alpha_1 + \dots + \alpha_n=0$? Se muestra en este trabajo que el conjunto de todas las posibles $n$s'es exactamente la colección de $\mathbb{N}$-combinaciones de los primos divisores de $m$ donde $\mathbb{N}$ denota el conjunto de todos los enteros no negativos. La prueba es larga y tiene un sutil análisis de un mínimo de fuga sumas de mth raíces de la unidad, expresado en el valor de la integral del grupo de los anillos finitos cíclico de los grupos. Nuestras técnicas también se recuperó con facilidad algunos de los resultados clásicos sobre la desaparición de las sumas de las raíces de la unidad, tales como los de Rédei, de Bruijn, y Schoenberg.

Tenga en cuenta que se permiten repeticiones de las raíces. Pero para la dirección de preguntar acerca de esto no hay problema.