Para ampliar, permítanme señalar que ni siquiera es cierto que un funtor aditivo que preserva epimorfismos/sobreyecciones también preserve cokernels. Por ejemplo, sea $\mathcal{C}$ la subcategoría completa de $\textbf{Ab}$ generada por los grupos abelianos libres de torsión. Esta categoría, quizás inesperadamente, es una categoría aditiva con núcleos y cokernels, pero no es una categoría abeliana. De hecho, en $\mathcal{C}$, el cokernel de $2 \cdot {-} : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ es $0$, por lo que la inclusión $\mathcal{C} \hookrightarrow \textbf{Ab}$ es un funtor aditivo que preserva sobreyecciones pero no cokernels (¡ni siquiera epimorfismos en general!). De hecho, $\mathcal{C} \hookrightarrow \textbf{Ab}$ es incluso un adjunto derecho, y por lo tanto es exacto a la izquierda en particular. (Cuando digo exacto a izquierda/derecha, siempre me refiero a un funtor que preserva límites/colímites finitos)
Sin embargo, lo que es cierto es que un funtor exacto a la izquierda $F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ que preserve epimorfismos (normales) será exacto, siempre que $\mathcal{A}$ y $\mathcal{B}$ sean ambas abelianas. De hecho, dado que $\mathcal{A}$ y $\mathcal{B}$ son aditivas, para demostrar que $F$ es exacto a la derecha es suficiente mostrar que es aditivo y preserva cokernels. Ahora bien, es conocido que un funtor $\mathcal{A} \to \mathcal{B}$ que preserva productos finitos es automáticamente aditivo; pero un funtor exacto a la izquierda preserva productos finitos, por lo que es un funtor aditivo en particular. Consideremos una secuencia de morfismos $$0 \longrightarrow A' \longrightarrow A \longrightarrow A'' \longrightarrow 0$$ en $\mathcal{A}$, y supongamos que $A' \to A$ es núcleo de $A \to A''$ y $A \to A''$ es el cokernel de $A' \to A$. Dado que $F$ preserva núcleos, obtenemos una secuencia exacta $$0 \longrightarrow F A' \longrightarrow F A \longrightarrow F A''$$ en $\mathcal{B}$, y dado que $A \to A''$ es un epimorfismo (normal), podemos extender lo anterior a una secuencia exacta corta en $\mathcal{B}$: $$0 \longrightarrow F A' \longrightarrow F A \longrightarrow F A'' \longrightarrow 0$$ Así, $F$ preserva cokernels de monomorfismos normales. En general, si tenemos un morfismo $X \to A$ en $\mathcal{A}$, podemos factorizarlo como $X \to A' \to A$ donde $X \to A'$ es el cokernel del núcleo de $X \to A$, y no es difícil mostrar que el cokernel de $A' \to A$ es también el cokernel de $X \to A$. Dado que $F$ preserva todos los núcleos y también cokernels de monomorfismos (normales), $F$ preserva esta factorización, y por lo tanto el cokernel de $F A' \to F A$ es también el cokernel de $F X \to F A$. Sin embargo, debido a que $\mathcal{A}$ es una categoría abeliana, $A' \to A$ en sí es un monomorfismo (normal), por lo que $F$ preserva su cokernel. Por lo tanto, $F$ realmente preserva todos los cokernels y por lo tanto es exacto a la derecha.
De manera dual, por supuesto, un funtor exacto a la derecha entre categorías abelianas es exacto si y solo si preserva monomorfismos (normales). Esto explica el hecho clásico de que $M$ es plano si y solo si $- \otimes_R M$ preserva homomorfismos inyectivos: $- \otimes_R M$ es un adjunto izquierdo y por lo tanto exacto a la derecha en particular.
