Si $G$ un finito $p$ -grupo s.t $G/[G;G]$ cíclico entonces $G$ abeliana.

Question

Dejemos que $G$ sea un finito $p$ -grupo y $[G,G]$ su subgrupo conmutador, yo necesito demostrar que si el grupo cociente $G/[G,G]$ es cíclico entonces $G$ es un grupo abeliano.

Mi intento es dejar que $g\in G$ s.t $g$ modulo $[G,G]$ sea un generador de el cociente del grupo, y por lo tanto para todos los elementos $y$ de $G$ tenemos $y=g^m$ modulo $[G,G]$ Es decir $y=g^mu$ para algunos $u\in [G,G]$ . Por lo tanto, para arbitrario $x,y\in G$ Debo demostrar que $xy=yx$ . Por escrito $x=g^nv$ y $y=g^mu$ Me sale $xy=g^nvg^mu$ y $yx=g^mug^nv$ Aquí me encuentro atascado y no sé qué puedo hacer, además puede que esté atascado porque no veo dónde puedo utilizar el suposición de que $G$ es $p$ -grupo, puede ser que este camino se base únicamente basado en las definiciones y la propiedad universal del grupo conmutador falla, ¿podría ayudarme a conseguirlo? Gracias de antemano por la participación.

Answer 1

Pista: mira el subgrupo Frattini $\Phi(G)=G'G^p$ . $G/\Phi(G)$ es cíclico. Y recuerda que $\Phi(G)$ son no generadores: pasa el ratón por encima para ver una prueba.

Si $G$ es un (nil) $p$ (otent)-grupo, entonces $G'\subseteq \Phi(G)$ . Así que de $G/G'$ es cíclico, entonces $G/\Phi(G) \cong (G/G')/(\Phi(G)/G')$ es cíclico, digamos $G/\Phi(G)=\langle \bar g\Phi(G) \rangle$ . Esto implica que $G=\langle g \rangle\Phi(G)$ y como $\Phi(G)$ son no generadores, $G=\langle g \rangle$ es cíclico.

Answer 2

Esto se debe a la importante propiedad (caracterizadora) de $p$ -(grupos nilpotentes): en un $p$ -todo subgrupo maximal es de índice primo y normal.

Supongamos que $G$ es no abeliana. Demostramos que $G/[G,G]$ no es cíclico. Sea $M$ sea un subgrupo máximo de $G$ . No puede ser único (de lo contrario, la elección de $x\in G\setminus M$ el subgrupo $\langle x\rangle$ estará ciertamente en algún subgrupo maximal, pero por la unicidad de $M$ Tendremos $\langle x\rangle=G$ pero $G$ no es cíclico).

Dejemos que $M'$ sea otro subgrupo maximal. Ahora, ambos $M,M'$ son normales con $G/M$ y $G/M'$ es isomorfo al grupo cíclico de orden $p$ Por lo tanto $[G,G]$ está contenida en $M$ así como $M'$ .

Así, en $G/[G,G]$ hay al menos dos subgrupos máximos - $M/[G,G]$ y $M'/[G,G]$ . Esto significa que $G/[G,G]$ no puede ser cíclico.