Comprender la relación entre las distribuciones del espacio de fase (Wigner vs Glauber-Sudarshan P vs Husimi Q)

Question

Me estoy adentrando en un nuevo campo y, tras una exhaustiva investigación bibliográfica, necesito ayuda para apreciar lo que hay.

En la formulación de variable continua del espacio de estado óptico Los estados (mecánicos cuánticos/ópticos) están representados por distribuciones de cuasi-probabilidad en esta imagen. Hay al menos tres famosas distribuciones en uso para representar estos estados: La de Wigner vs Glauber-Sudarshan P vs Husimi Q.

El Distribución de Wigner se define como $$ W(x,p)=:\frac{1}{\pi\hbar}\int \int \psi(x+y)^{*} \psi(x-y) e^{\frac{2ipy}{\hbar}} dx dp $$ El Glauber-Sudarshan $P$ distribución es $$ P(\alpha)=\frac{e^{|\alpha|^{2}}}{\pi}\int \langle-\beta|\rho|\beta \rangle e^{|\beta|^{2}-\beta \alpha^{*}+\beta^{*}\alpha} d^2\beta $$ El Husimi $Q$ distribución es $$ Q(\alpha) = \langle \alpha | \rho | \alpha \rangle $$ Una cosa que he notado ya es la diferencia entre $\alpha$ et $x,p$ parece crucial. A mi entender $x,p$ se tratan matemáticamente como dos parámetros. Se identifican con la posición x y el momento p en física.

En cambio $\alpha$ no es realmente un escalar, sino un parámetro que define el llamado estado coherente. Parece que de alguna manera las otras distribuciones se expresan en términos de estos estados coherentes. (véase la wikipedia para más información sobre los estados coherentes: http://en.wikipedia.org/wiki/Coherent_states )

Reconozco que ni siquiera entiendo bien estas definiciones por completo. Por lo que entiendo, deberían ser equivalentes, aunque esto no es obvio para mí.

Primera pregunta: ¿En qué se parecen estas distribuciones de aspecto tan diferente?

Además, una vez entendido esto, espero que tengan ventajas y desventajas, si no, no estarían ahí. No veo cómo se relacionan y por qué una representación es favorable a las otras.

Segunda pregunta: ¿Podría alguien ayudarme a entender por qué se elige una determinada representación en lugar de otra?

Answer 1

Permítanme recoger la mayoría de mis comentarios en una respuesta que intenta ser más coherente que ellos, o que su lábil pregunta. De hecho, estás amontonando tres preguntas diferentes, lógicamente distintas, pero con conexiones fuertes y naturales, por lo que podría valer la pena separarlas, antes de volver a unirlas en la coda final.

• En primer lugar, está el espacio de Hilbert plano, $|x\rangle$ o $|p\rangle$ cuyo espacio de parámetros es el espacio de fase simple, con parámetros $x$ et $p$ , valores propios de los operadores respectivos. Luego está el espacio de Fock de los operadores de creación y aniquilación, donde ahora $\alpha$ es un parámetro complejo, valor propio del operador de aniquilación en estados coherentes, con su conjugado complejo $\alpha^*$ a menudo se dice que comprende espacio de fase óptica . Son equivalente pero los estados coherentes sobrecompletos tienen solapamientos gaussianos entre sí, y las conversiones requieren un cuidado desmesurado. Básicamente, en unidades naturales $\hbar=1$ los solapamientos con los estados propios de posición son paquetes de ondas gaussianas de Schroedinger,
  $$\langle x | \alpha\rangle= \frac{1}{\pi^{1/4}} ~ e^{\sqrt{2}\alpha x - x^2/2- \alpha \Re (\alpha)}~. $$

• En segundo lugar, las transformaciones seleccionadas de la matriz de densidad ρ al espacio de fase a través de la transformada de Wigner, o de la transformada de Glauber-Sudarshan, o de la transformada de Husimi, dan lugar al equivalente funciones de distribución de cuasiprobabilidad W,P o Q . Las tres transformaciones equivalentes se diferencian por los ordenamientos de los operadores implicados en las funciones características de las distribuciones: Ordenación de Weyl, ordenación normal u ordenación antinormal, respectivamente. Q es un operador invertible Transformación de Weierstrass , una convolución con una gaussiana, de W, como se puede encontrar en los libros estándar: Medición del estado cuántico de la luz Ulf Leonhardt, capítulo 3.2; o Óptica cuántica en el espacio de fase , Wolfgang Schleich; o nuestro p.58. Estos libros optan por las variables del espacio de fase, x et p donde todo es fácil, y las conversiones de equivalencia entre ellas son sencillas. (La sistemática general de conversión de un parámetro entre ellos se llama " Clasificación de Cohen teoría ".)

Pero si hay que trabajar en el espacio de la fase óptica, que no me gusta mucho, para comparar manzanas con manzanas, se necesita el W representada, esquemáticamente, no en la forma de espacio de fase que tienes, sino como el valor de expectativa de Royer del operador de paridad, es decir, como algo así como $$W(\alpha)= \frac{1}{\pi^2}\int d^2 z ~ \operatorname{tr}(\rho e^{iz(\widehat{a} -\alpha) +iz^*(\widehat{a}^{\dagger}-\alpha^*)} ).$$ Entonces, como ves aquí A través de los ordenamientos de sus funciones características, estas representaciones se interrelacionan también a través de las transformadas de Weierstrass, ahora en el espacio óptico de fase, $$W(\alpha,\alpha^*)= \frac{2}{\pi} \int P(\beta,\beta^*) e^{-2|\alpha-\beta|^2} \, d^2\beta$$ $$Q(\alpha,\alpha^*)= \frac{2}{\pi} \int W(\beta,\beta^*) e^{-2|\alpha-\beta|^2} \, d^2\beta ,$$ o, utilizando la asociatividad de las circunvoluciones, $$Q(\alpha,\alpha^*)= \frac{1}{\pi} \int P(\beta,\beta^*) e^{-|\alpha-\beta|^2} \, d^2\beta ~.$$

• En tercer lugar, los méritos relativos de cada variante son aproximadamente estos. W es mejor para el espacio de fase simple: allí, es el único que no necesita un producto estrella en las integrales del valor de la expectativa, el análogo del sistema de coordenadas cartesianas. Sin embargo, si no se requieren cadenas múltiples de productos estrella (¡sólo!) hay una conveniente kludge El teorema de equivalencia óptica para potenciar P para calcular los valores de las expectativas de los operadores de orden normal, en el espacio de los estados coherentes, sin estrellas; pero las cosas van terriblemente mal si se trata de cadenas de productos estelares. Así que el usuario debe ordenar cuidadosamente todo lo normal antes de calcularlo. Q hace lo mismo con los operadores antinormales (¡si te los encuentras y no los ordenas fácilmente!). Así que, en cierto modo, tu idea errónea está bien fundada: vale la pena utilizar W en el espacio de fase simple y posiblemente P en el espacio de fase óptica, aunque no sea necesario.

Un comentario de despedida: A menudo, y de forma bastante equivocada, la gente contrasta las propiedades de dichas distribuciones, haciendo algo del hecho Q es semidefinida positiva, lo que implica, erróneamente, de nuevo, que puede "por lo tanto" acercarse a servir como una distribución de probabilidad de buena fe. Se trata de una ilusión peligrosa, ya que, en primer lugar, los valores de expectativa en el espacio de fase simple con Q pero sin productos estrella son sencillamente erróneos (son aproximaciones semiclásicas incontrolables). Con productos estelares, son correctas---simples cambios disfuncionales de variables de la imagen de Wigner, ya que todo lo anterior, como vimos, son cambios glorificados de variables e imágenes.

Y lo más importante, aunque no menos importante, todo lo anterior no puede sean distribuciones de probabilidad, aunque sean semidefinidas positivas, al fallar El tercer axioma de Kolmogorov en la contingencia disjunta de diferentes puntos en el espacio (de fase) de los parámetros: el principio de incertidumbre te dice dos puntos x,p et x',p' se confunden por el principio de incertidumbre si están lo suficientemente cerca en $\hbar$ unidades (aquí, 1). De hecho, el principio de incertidumbre asegura que los charcos sólidos negativos de W ser pequeño en unidades de superficie de $\hbar$ como se detalla en nuestro libro, citado anteriormente. Ahora y siempre, estos, los tres, son simplemente distribuciones de cuasi-probabilidad.