Límite de secuencia compleja.

Question

Tengo el siguiente límite:

Si $z_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(z_n+\dfrac{1}{z_n}\right)$ para $n \in \mathbb{N}\cup \{0\}$ e $-\dfrac{\pi}{2}<arg(z_0)<\dfrac{\pi}{2},$ a continuación, $$\lim_{n \rightarrow \infty} z_n=1.$$

He tratado de buscar un recurent fórmula, pero cada vez se pone peor y peor. También he tratado de poner el $z_0=|z_0|e^{i \theta}$ para$-\dfrac{\pi}{2}<\theta<\dfrac{\pi}{2},$, pero estoy muy atascado.

Cualquier sugerencia se agradece.

Answer 1

Sugerencia:

Una clave de la relación es $$\frac{z_{n+1}-1}{z_{n+1}+1}=\frac{z_n^2-2z_n+1}{z_n^2+2z_n+1}=\left(\frac{z_n-1}{z_n+1}\right)^2,$$

y por la recurrencia

$$\left(\frac{z_0-1}{z_0+1}\right)^{2^n}.$$

Considerar el módulo de $$\left|\frac{z_0-1}{z_0+1}\right|.$$

Answer 2

$|z_{n+1}-1| = \dfrac{|z_n-1|^2}{2|z_n|}\leq \dfrac{|z_n-1|^2}{2}$. Reiterar este hasta llegar a $|z_0-1|$, y su supuesta a ser menos de $1$, a continuación, utilizar el teorema del sándwich a la conclusión. Pero en primer lugar usted necesita para de alguna forma demostrar que : $|z_n| \geq 1$. Usted puede demostrar esto mediante el uso de AM-GM de la desigualdad, pero tenga en cuenta que usted está trabajando en $\mathbb{C}$, por lo que es probable que necesite para escribir $z_n = a_n+ib_n$, y para proceder.