Estoy tratando de aprender por mí mismo algo de geometría algebraica, ya que probablemente tomaré un curso elemental el próximo semestre.
Tengo algunos problemas para entender lo siguiente:
Deje que $Y=Z(y-x^{2})$ entonces por definición $Y$ es un conjunto algebraico en $ \mathbb {A}^{2}$ . El autor encuentra el anillo de coordenadas $K[x,y]/I(Y)$ donde $I(Y)=\{f \in K[x,y]: f=0 \ \textrm {in Y}\}$ .
Reclamar: $K[x,y]/I(y) \cong K[t]$ donde $t$ es un indeterminado.
Definir un mapa $ \phi : K[x,y] \rightarrow K[t]$ por $x \mapsto t$ y $y \mapsto t^{2}$ . Luego $f$ es un morfismo de anillo por la propiedad universal.
Preguntas:
1) Por qué basta con decir dónde enviar $x$ y $y$ ?
2) ¿Cómo compruebas usando la propiedad universal de que esto es de hecho un morfismo de anillo? No sé cómo aplicar esta propiedad.
3) ¿Cuál es la razón de enviar $x$ a $t$ y $y \mapsto t^{2}$ es decir, ¿cómo se pueden calcular las imágenes de $x$ y $y$ bajo $ \phi $ ?
Le agradecería que me explicara todo lo posible, espero que no sea demasiado pedir.
Gracias de antemano.
