Me estaba preguntado cómo encontrar la función de esta igualdad:
$f(f(x))=2x$. También se $f$ es continua.
No necesito la respuesta, cómo encontrar que es más importante.
Respuestas
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Si $f$ tiene una potencia de serie, usted podría tratar de componer el poder de la serie. Desde $f(0)=0$, no necesitamos traducir: $$ f(x) = a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\dots $$ Por lo tanto, $$ \begin{align} f(f(x)) &= a_1(a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\dots)\\ &+a_2(a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\dots)^2\\ &+a_3(a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\dots)^3\\ &+\dots\\ &=a_1^2x+a_1a_2(1+a_1)x^2+a_1(2a_2^2+a_3+a_1^2a_3)x^3+\dots\tag{1} \end{align} $$ El uso de $(1)$, obtenemos que $a_1=\sqrt{2}$ o $a_1=-\sqrt{2}$,$a_2=0$, e $a_3=0$. La comprobación, vemos que tanto $f(x)=\sqrt{2}\;x$ $f(x)=-\sqrt{2}\;x$ trabajo.
Además: el Uso de alex.jordan comentario de $f(2x)=2f(x)$ si $f^{\;\prime}\in\operatorname{Lip}(\alpha)$ algunos $\alpha>0$, es decir,$f\in\operatorname{Lip}(1+\alpha)$, entonces estas dos soluciones son las únicas soluciones.
Matthew Scouten
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Para otra clase de soluciones, intente $f(x) = -c x$ $x \ge 0$, $-(2/c) x$ para $x < 0$ donde $c > 0$ es constante. Todavía más en general, vamos a $h(x) = x p(\log_2(x))$ $x > 0$ donde $p$ es continua y periódica, con periodo de 1 y $p(t) + p'(t)/\ln(2) > 0$ en todas partes. Por lo tanto $h$ es un aumento continuo de la función de $(0,\infty)$ sobre sí mismo, por lo tanto invertible en a $(0,\infty)$. Deje $f(x) = - h(x)$ $x > 0$, $f(0) = 0$, $f(x) = 2 h^{-1}(-x)$ si $x < 0$.
Philip Fourie
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No importa! Me convertí centrado en la resolución de $f(2x)=2f(x)$, que es una consecuencia de la ecuación original, pero no equivalentes. Voy a dejar esto aquí en caso de que ayuda con una solución real.
Como se ha señalado, $f(0)=0$. Deje $f(1)=a$.
Como señalé en mi comentario, $$f(2x)=2f(x)$$ Inductively, for all $n\in\mathbb{Z}$, $$f(2^nx)=2^nf(x)$$ In particular, $f(2^n)=2^na$. That is, upon choosing a value $a$ for $f$ at $1$, the function's values at $\{\ldots,\frac14,\frac12,1,2,4,\ldots\}$ son inmediatamente determinado.
Ahora me reclama que cualquier función continua en $[1,2]$ $f(1)=a$ $f(2)=2a$ se extiende a una función de $f$$(0,\infty)$, usando la relación $f(2^nx)=2^nf(x)$.
Similalary,podríamos optar por una completamente diferente función continua en $[-2,-1]$$f(-1)=b$$f(-2)=2b$, y que se extienden a $(-\infty,0)$. Combinado con la observación de que $f(0)=0$, esto le da un espacio muy grande de soluciones definidas en $(-\infty,\infty)$.
Como un ejemplo de cómo exóticas estas soluciones podría ser, considere la posibilidad de $f(x)=(\sin(2\pi\log_2(x))+5)x$.
delroh
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Esto no es una solución general, pero creo que hay más continuo de la solución de la ecuación funcional. Considere, por ejemplo,
$$ f(x) = \begin{cases} x \left( \frac{11}{6} - \frac{x}{3} \right), &\text{ for } x \in \left[ 1, \frac{3}{2} \right], \\ \frac{11}{2} - \sqrt{\frac{121}{4} - 12x}, &\text{ for } x \in \left[ \frac{3}{2}, 2 \right], \end{casos} $$
Podemos extender la definición a todos los números positivos, al declarar: $$ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}f(2x), & \ 0 < x < 1, \\ 2f \Big(\frac{x}{2} \Big), & \ x > 2, \end{casos} $$
Finalmente, extendemos la función de los números negativos y el cero, al declarar la función de ser impar. Por lo $f(0) = 0$ $f(-x) = -f(x)$ todos los $x > 0$.
Si yo no he hecho ningún error, entonces esta función es continua y la satisfacción de los $f(f(x)) = 2x$.
Debemos comprobar que la función es continua y satisface $f(f(x)) = 2x$. Yo no soy la ortografía de los detalles aquí y ahora, porque es bastante tedioso :-). Voy a pensar en si es una forma directa para verificar los requisitos. Mientras tanto, si hay demanda para mostrar propiedades específicas, que sin duda puede hacerlo.
Frangello
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De manera más general, supongamos que queremos encontrar una "composición de la raíz cuadrada" de $ax^b$ donde $a$ $b$ son números reales positivos. Supongamos que existe una solución de la forma $f(x)=cx^d$ para algunos números reales $c$ $d$ y a ver a dónde nos lleva. De $f\left(f(x)\right) = ax^b,$ tenemos
$$c \cdot \left(cx^{d} \right)^{d} \; = \; ax^{b}$$
Por lo tanto, $c^{d+1}=a$$d^{2}=b$, que podemos resolver fácilmente para $c$ $d$ en términos de $a$ $b$ para obtener
$$f(x) \; = \; a^{\frac{1}{{\sqrt b}\; +\; 1}} \cdot x^{\sqrt b}$$
