Encontrar las raíces de la suma de números complejos.

Question

Encuentra las raíces de$(z-1)^6 +(z+1)^6$. Hasta ahora hemos intentado la expansión binomial, pero ¿a dónde ir ahora, ya que es una pregunta no calculadora?

Answer 1

Sugerencia: considere la ecuación$\left(\frac{z-1}{z+1}\right)^6=-1$.

Answer 2

Esto es equivalente a encontrar las raíces de$$2(z^6 + 15z^4 + 15z^2 + 1) = 0.$$ If we substitute $ x = z ^ 2$, we get $ x ^ 3 + 15x ^ 2 + 15x + 1 = 0$, which can be factored as $ (x + 1 ) (x ^ 2 + 14x + 1) = 0$. This can now be solved, and now we can use our substitution $ x = z ^ 2$ to find the roots of $ z$ from the roots of $ x $.