Construcción de * ZFC

Question

En el siguiente documento, página 11 (Apéndice), hay una construcción de un modelo de una teoría de la $^*ZFC$ (ver las definiciones en el papel incluido) a partir de un modelo de $ZFC$. He estado tratando muy duro para entender por casi un mes sin frutos. Tengo 4 preguntas.

La construcción supone que cuando tenemos un directo límite de $\in$-estructuras de $(\mathcal{U}_i,\epsilon_i)_{i\in I}$ (donde para todos los $i$ en $I$, $U_i$ es una clase), con extensiones $\chi_{i,j}$, entonces la directa límite de $(\mathcal{U}_\gamma,\epsilon_\gamma)$

1/ es una clase 2/ se verifica la siguiente propiedad de $x$ en $U_\gamma$ : $\{x'\in U_\gamma | x'\epsilon_\gamma x\}$ es un conjunto. ¿Cómo resultó ?

A continuación, el autor procedes y define la directa límite de clases indexados por los ordinales. 3/ La clase de los ordinales ser una clase adecuada, ¿cómo se puede dar un sentido a esto ?

Finalmente, suponiendo que la estructura de $<U_d,\epsilon_d>$ existe, 4/ ¿cómo podemos demostrar que $<U_d,\epsilon_d>$ es un modelo de $ZFC^-$ ? En primer lugar, la clase no parecen verificar la extensionality axioma. El documento dice que la prueba es "similar" a la prueba del hecho de que una clase transitiva $C$ que comprueba que "para todo x, que es un conjunto, $x\subset C \Rightarrow x\in C$" es un modelo de $ZFC^-$. En qué forma es similar ?

Answer 1

Puede tratarse de un error tipográfico, pero usted escribe $(\mathcal{U}_\gamma, \varepsilon_\gamma)$ es un producto donde el papel se habla de un directo de límite.

Es muy importante que la prueba viene en dos etapas y el conjunto de $I$ es necesaria sólo para la primera. La segunda etapa no invocar una colección arbitraria de clases $(\mathcal{U}_i)_{i \in I}$, pero se parametrizó la familia $(\mathcal{U}_\alpha)_{\alpha \in \text{On}}$ indexados más de la clase de los números ordinales; no hay una sola fórmula $\Phi(x, \gamma)$ que identifica la pertenencia de $\mathcal{U}_\gamma$ siempre $\gamma$ es un ordinal.

De hecho, $\Phi$ puede expresar "hay un conjunto $Y$ con elementos indexados por $\gamma+1$ tal que $Y_0$ verifica $Y_0 \in \text{V}^I_D$, para cada $\delta < \gamma$ tenemos $Y_{\delta + 1}\, \subset\, Y_\delta$, por cada límite de $\delta \leq \gamma$ $Y_\delta$ está contenido en la unión de los elementos anteriores, de $Y$, e $x$ es igual a $Y_\gamma$."

A continuación, la unión de $\mathcal{U}_D = \cup(\mathcal{U}_\alpha)$ es también una clase, simplemente por cuantificar el parámetro $\gamma$; $x \in \mathcal{U}_D$ iff $\exists \gamma \in \text{On} \, x \in \mathcal{U}_\gamma$.

He dejado fuera las relaciones $\varepsilon_\gamma$, principalmente por pereza, pero la construcción de la verificación de la fórmula mencionar como bien ha de proceder exactamente de la misma manera. Hasta pereza esto debe responder a tu pregunta 1.

El punto crítico es que el $\varepsilon_\gamma$ son una clase vinculada por fin-extensiones, con la propiedad de que cualquier par de ellos siempre son coherentes en su conjunto dominio. Por lo que podemos relativise cualquier relación $a\,\varepsilon\,b$ cualquier $\mathcal{U}_\gamma$ suficientemente grande como para que ambos elementos aparecen, y no importa que.

Para la pregunta 2, se puede tomar el sucesor $\mathcal{U}_{\gamma+1}$ cualquier $\mathcal{U}_\gamma$ en que $x$ existe, y el juego será en este sucesor y, por tanto, en la unión de la clase $\mathcal{U}_D$.

Su pregunta 3 pregunta de nuevo: ¿una unión adecuada de clases puede ser una clase, y no estoy seguro de cómo esto difiere de su pregunta 1. De nuevo, el punto es que la unión es a través de una parametrizada de la familia, y la fórmula de la definición de la unión de la clase se encuentra simplemente mediante la cuantificación a través del parámetro.

Pregunta 4 pregunta por qué esta unión de la clase satisface Extensionality (como se expresa con $\varepsilon$). Estoy un poco confusa en este---no tener un mes para trabajar a través de él---pero la respuesta debe estar en la definición exacta de $\varepsilon_\gamma$ en conjunción con el fin de extensiones $\chi$. Tenga en cuenta que $\varepsilon_\gamma$ se define en términos de la genuina subconjunto de operación $\subset$, por lo que presumiblemente Extensionality es heredado de la verdadera propiedad de ZFC.