Puede tratarse de un error tipográfico, pero usted escribe $(\mathcal{U}_\gamma, \varepsilon_\gamma)$ es un producto donde el papel se habla de un directo de límite.
Es muy importante que la prueba viene en dos etapas y el conjunto de $I$ es necesaria sólo para la primera. La segunda etapa no invocar una colección arbitraria de clases $(\mathcal{U}_i)_{i \in I}$, pero se parametrizó la familia $(\mathcal{U}_\alpha)_{\alpha \in \text{On}}$ indexados más de la clase de los números ordinales; no hay una sola fórmula $\Phi(x, \gamma)$ que identifica la pertenencia de $\mathcal{U}_\gamma$ siempre $\gamma$ es un ordinal.
De hecho, $\Phi$ puede expresar "hay un conjunto $Y$ con elementos indexados por $\gamma+1$ tal que $Y_0$ verifica $Y_0 \in \text{V}^I_D$, para cada $\delta < \gamma$ tenemos $Y_{\delta + 1}\, \subset\, Y_\delta$, por cada límite de $\delta \leq \gamma$ $Y_\delta$ está contenido en la unión de los elementos anteriores, de $Y$, e $x$ es igual a $Y_\gamma$."
A continuación, la unión de $\mathcal{U}_D = \cup(\mathcal{U}_\alpha)$ es también una clase, simplemente por cuantificar el parámetro $\gamma$; $x \in \mathcal{U}_D$ iff $\exists \gamma \in \text{On} \, x \in \mathcal{U}_\gamma$.
He dejado fuera las relaciones $\varepsilon_\gamma$, principalmente por pereza, pero la construcción de la verificación de la fórmula mencionar como bien ha de proceder exactamente de la misma manera. Hasta pereza esto debe responder a tu pregunta 1.
El punto crítico es que el $\varepsilon_\gamma$ son una clase vinculada por fin-extensiones, con la propiedad de que cualquier par de ellos siempre son coherentes en su conjunto dominio. Por lo que podemos relativise cualquier relación $a\,\varepsilon\,b$ cualquier $\mathcal{U}_\gamma$ suficientemente grande como para que ambos elementos aparecen, y no importa que.
Para la pregunta 2, se puede tomar el sucesor $\mathcal{U}_{\gamma+1}$ cualquier $\mathcal{U}_\gamma$ en que $x$ existe, y el juego será en este sucesor y, por tanto, en la unión de la clase $\mathcal{U}_D$.
Su pregunta 3 pregunta de nuevo: ¿una unión adecuada de clases puede ser una clase, y no estoy seguro de cómo esto difiere de su pregunta 1. De nuevo, el punto es que la unión es a través de una parametrizada de la familia, y la fórmula de la definición de la unión de la clase se encuentra simplemente mediante la cuantificación a través del parámetro.
Pregunta 4 pregunta por qué esta unión de la clase satisface Extensionality (como se expresa con $\varepsilon$). Estoy un poco confusa en este---no tener un mes para trabajar a través de él---pero la respuesta debe estar en la definición exacta de $\varepsilon_\gamma$ en conjunción con el fin de extensiones $\chi$. Tenga en cuenta que $\varepsilon_\gamma$ se define en términos de la genuina subconjunto de operación $\subset$, por lo que presumiblemente Extensionality es heredado de la verdadera propiedad de ZFC.
