$T :\mathbb {R^7}\rightarrow \mathbb {R^7}$ está definido por$T(x_1,x_2,\ldots x_6,x_7) = (x_7,x_6,\ldots x_2,x_1)$ y selecciona las afirmaciones verdaderas.

Question

Considere las transformaciones lineales$T :\mathbb {R^7}\rightarrow \mathbb {R^7}$ definidas por$T(x_1,x_2,\ldots x_6,x_7) = (x_7,x_6,\ldots x_2,x_1)$. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas?

1-$\det T = 1$

2 - Hay una base de$\mathbb {R^7}$ con respecto a la cual$T$ es una matriz diagonal,

3-$T^7=I$

4- El$n$ más pequeño, tal que$T^n = I$ es par.

Lo que he hecho es que he intentado obtener$T :\mathbb {R^2}\rightarrow \mathbb {R^2}$ y he encontrado que todas las declaraciones son ciertas. ¿Puedo generalizar mi conclusión a$\mathbb {R^7}$? ¿Necesito encontrar$7\times 7$ matriz? ¿Hay algún otro enfoque?

Answer 1

No es difícil ver que, en la base canónica, $$T = \begin{bmatrix}0&0&0&0&0&0&1\\ 0&0&0&0&0&1&0 \\0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0&0&0 \\0&0&1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0&0&0 \end {bmatrix}$$ De esto no es difícil ver que$\det T=-1$. Además,$T$ es simétrico y real, por lo que es diagonalizable. Para las dos últimas preguntas, es suficiente notar que$T^2=I$ (de la definición), por lo que 3 es falso y$n=2$ en 4.

Answer 2

Uno ve por la inspección que el $1$ e $-1$ son los autovalores de $T$ (el vector $(1,0,0,0,0,0, -1)$ es un vector propio para el autovalor $-1$).

Desde entonces, $T(e_i)=e_{8-i}$ la representación de la matriz de $T$ puede ser fácilmente construido: $$A=\begin{bmatrix}0&0&0&0&0&0&1\\ 0&0&0&0&0&1&0 \\0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0&0&0 \\0&0&1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0&0&0 \end{bmatrix}$$

Para el autovalor $1$, tenemos $$A-I=\begin{bmatrix}-1&0&0&0&0&0&1\\ 0&-1&0&0&0&1&0 \\0&0&-1&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&0&0 \\0&0&1&0&-1&0&0\\0&1&0&0&0&-1&0\\1&0&0&0&0&0&-1 \end{bmatrix}$$ que tiene forma escalonada $$\begin{bmatrix}-1&0&0&0&0&0&1\\ 0&-1&0&0&0&1&0 \\0&0&-1&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&0&0 \\0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0 \end{bmatrix}$$ Se puede deducir de lo anterior que el espacio propio para el autovalor $1$ tiene dimensión 4.

Una forma escalonada de la matriz $T-(-1)I$ es $$\begin{bmatrix}1&0&0&0&0&0&1\\ 0&1&0&0&0&1&0 \\0&0&1&0&1&0&0\\0&0&0&2&0&0&0 \\0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0 \end{bmatrix}$$ de donde se desprende que la dimensión del subespacio propio para el autovalor $-1$ es de 3.

Por lo tanto $T$ tiene exactamente dos autovalores $1$ e $-1$. Dado que las dimensiones de los subespacios propios suma a 7, se deduce que el $T$ es diagonalizable. Ya que el producto de los autovalores es $1^4\cdot(-1)^3=-1$, se deduce que el factor determinante de la $T$ es $-1$ (el determinante también puede ser calculado directamente).

Se desprende también que el polinomio característico de $T$ es $(\lambda^2-1)^3(\lambda-1)$; y desde $T\ne I$, debemos tener $T^2=I$ (que se pueden ver más fácilmente buscando en la definición de $T$). Por lo $T^7=T$.

Answer 3

Podemos empezar a adivinar los vectores propios: con autovalor $1$, tenemos los vectores propios $e_1 + e_7$, $e_2 + e_6$, $e_3 + e_5$, y $e_4$; con autovalor $-1$, tenemos los vectores propios $e_1 - e_7$, $e_2 - e_6$, $e_3 - e_5$. Estos siete vectores propios formar una base de $\mathbb{R}^7$, por lo que con respecto a esta base $T$ será diagonal. Además, dado que el determinante es el producto de los valores propios, $\det T = 1^4 \cdot (-1)^3 = -1$. Fácilmente podemos ver que $T$ interruptores de tres pares de coordenadas, por lo que para volver a $x \in \mathbb{R}^7$ después de aplicar el $T$ repetidamente $n$ veces en $x$, $n$ tiene que ser uniforme y, en particular, no puede ser $7$ (o alternativamente: si $T^n = I$, $\det T^n = (\det T)^n = (-1)^n = det I = 1$, por lo $n$ es incluso).