Uno ve por la inspección que el $1$ e $-1$ son los autovalores de $T$ (el vector $(1,0,0,0,0,0, -1)$ es un vector propio para el autovalor $-1$).
Desde entonces,
$T(e_i)=e_{8-i}$ la representación de la matriz de $T$ puede ser fácilmente construido:
$$
A=\begin{bmatrix}0&0&0&0&0&0&1\\ 0&0&0&0&0&1&0 \\0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0&0&0
\\0&0&1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0&0&0
\end{bmatrix}
$$
Para el autovalor $1$, tenemos
$$
A-I=\begin{bmatrix}-1&0&0&0&0&0&1\\ 0&-1&0&0&0&1&0 \\0&0&-1&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&0&0
\\0&0&1&0&-1&0&0\\0&1&0&0&0&-1&0\\1&0&0&0&0&0&-1
\end{bmatrix}
$$
que tiene forma escalonada
$$
\begin{bmatrix}-1&0&0&0&0&0&1\\ 0&-1&0&0&0&1&0 \\0&0&-1&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&0&0
\\0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0
\end{bmatrix}
$$
Se puede deducir de lo anterior que el espacio propio para el autovalor $1$ tiene dimensión 4.
Una forma escalonada de la matriz $T-(-1)I$ es
$$
\begin{bmatrix}1&0&0&0&0&0&1\\ 0&1&0&0&0&1&0 \\0&0&1&0&1&0&0\\0&0&0&2&0&0&0
\\0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0
\end{bmatrix}
$$
de donde se desprende que la dimensión del subespacio propio para el autovalor $-1$ es de 3.
Por lo tanto $T$ tiene exactamente dos autovalores $1$ e $-1$. Dado que las dimensiones de los subespacios propios suma a 7, se deduce que el $T$ es diagonalizable. Ya que el producto de los autovalores es $1^4\cdot(-1)^3=-1$, se deduce que el factor determinante de la $T$ es $-1$ (el determinante también puede ser calculado directamente).
Se desprende también que el polinomio característico de $T$ es $(\lambda^2-1)^3(\lambda-1)$; y desde $T\ne I$, debemos tener $T^2=I$ (que se pueden ver más fácilmente buscando en la definición de $T$). Por lo $T^7=T$.
