$\lim_{x \to +\infty} f(x), \lim_{x \to -\infty} f(x)$ ambos existen y son finitos,$f$ uniformemente continuo

Question

Deje $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ser continua y supongamos que $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ e $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ ambos existen y son finitos. ¿Cómo puedo demostrar que $f$ es uniformemente continua?

El trabajo que he hecho hasta ahora:

Para su comodidad, llame a los límites de $A$ e $B$. Fix $\epsilon > 0$. Entonces no existe $M, N \in \mathbb{R}$ tal que $|f(x) - A| < \epsilon$ cualquier $x \le M$, e $|f(x) - B| < \epsilon$ cualquier $x \ge N$. Sin pérdida de generalidad supongamos $M < N$. Por el Teorema de $4.19$ en Rudin los Principios de Análisis Matemático, $f$ es uniformemente continua en el conjunto compacto $[M, N]$. De modo que existe $\delta > 0$ tal que $|f(x) - f(y)| < \epsilon$ cualquier $x, y \in [M, N]$ con $|x-y| < \delta$.

Yo no estoy tan seguro de cómo proceder, de aquí en adelante...

Answer 1

Usted está apagado a un buen comienzo. La construcción de lo que usted tiene, considere arbitraria de reales $x, y$ con $|x - y| < \min\{\delta, N-M\}$. Si $x, y \in [M, N]$,, a continuación,$|f(x) - f(y)| < \epsilon$. De lo contrario, si sin pérdida de generalidad $x \le y$, entonces a partir de la $|x - y| < N-M$, o tenemos $x < M$ e $x < y < N$ o $y > N$ e $y > x > M$.

En el primer caso, tenemos $|f(x)-f(M)| < |f(x)-A|+|A-f(M)| < \epsilon+\epsilon$. Así mismo, se $|f(y)-f(M)| < 2\epsilon$ si $y<M$, y de lo contrario $|f(y)-f(M)| < \epsilon$ $($desde $|M-y| < |x-y| < \delta)$. Por lo tanto $|f(x)-f(y)| \le |f(x)-f(M)|+|f(M)-f(y)| < 2\epsilon+\max\{2\epsilon,\epsilon\} = 4\epsilon$.

El segundo caso es análogo $($concretamente, por ejemplo, se sigue tomando $f'(t) = -f(t)$, $x' = -y$, $y' = -x$, $M' = -N$, $N' = -M$ en el primer caso$)$. Por lo tanto $|f(x)-f(y)| < 4\epsilon$ siempre $|x-y| < \min\{\delta,N-M\}$. Desde $4\epsilon$ puede tomar cualquier valor real, hemos terminado.