¿Por qué la energía cinética es un punto fijo de la transformación de Legendre?

Question

Pregunta: ¿por Qué es (desde un punto de vista intuitivo) la energía cinética $T$ un punto fijo de la transformación de Legendre, es decir, $\frac{\partial T}{\partial \dot q}\dot q-T = T$ para cualquier general coordinar $q$? Puedo derivar esto sin Lagrange o Hamiltoniana de la mecánica?

Antecedentes: me he dado cuenta que se puede derivar la $\frac{\partial T}{\partial \dot q}\dot q-T = T$ de Lagrange / Hamiltoniana de la mecánica a través de ($q$ es cualquier generales de coordenadas):

$$\begin{align} H & = \frac{\partial L}{\partial \dot q} \dot q - L \\ \implies\ T+V &= \frac{\partial (T-V)}{\partial \dot q} \dot q - (T-V) \\ \implies\ T+V &= \frac{\partial T}{\partial \dot q} \dot q - T + V \\ \implies\ T &= \frac{\partial T}{\partial \dot q} \dot q - T \end{align}$$

Ahora me he preguntado ¿por qué se hace de forma intuitiva sentido de que la energía cinética es un punto fijo de la transformación de Legendre. No parece ser una coincidencia...

Answer 1

Deje que el Lagrangiano tiene la forma tradicional

$$ \mathcal{L}(q,\dot{q};t) = \frac{\dot{q}^2}{2} - V(q) \, ,$$

donde $V(q)$ representa la energía potencial. Vemos que la condición

$$ \frac{\partial \mathcal{L}(q,\dot{q};t)}{\partial q} = - \frac{\partial V(q)}{\partial q} = 0 $$

describe extremos de la Hamiltoniana

$$H(p,q) = p \dot{q} - \mathcal{L}(q,\dot{q};t) = \frac{p^2}{2} + V(q) \, , \quad \text{donde} \qquad p = \frac{\partial \mathcal{L}(q,\dot{q};t)}{\parcial \dot{q}} \, .$$

Desde la transformación de Legendre se define como un sup, yo.e para cada punto de evaluación $p$ hemos

$$ f^*(p) = \sup_{\dot{q}} \left( p \dot{q} - \mathcal{L}(q,\dot{q};t)\right) \, ,$$

el hecho de que la transformación de Legendre mapas de la energía cinética a sí misma es equivalente a decir que el punto donde la energía potencial se desvanece, que es un extremo de los de Lagrange, también será un extremo de la Hamiltoniana. Esto es fundamental, desde puntos fijos deben tener la misma estabilidad de las propiedades en cualquiera de Lagrange o de Hamilton formulaciones: Un equilibrio inestable en el Lagrangiano de la descripción debe ser asignada a un equilibrio inestable en el Hamiltoniano descripción, etc. La definición de la transformación de Legendre como un suppremum garantiza que la gráfica de $f^*(p)$ será convexa, está delimitada por encima/por debajo y por los puntos donde la $V(q)=0$, es decir, por la energía cinética.

Todo lo anterior puede ser generalizado a la no-convexa de las funciones convexas duales, pero no sé lo suficiente como para elaborar.

Respecto a su interés en transformaciones de Legendre fuera de coordinar libre de las formulaciones de la mecánica (no hablo de la termodinámica aquí), yo diría que, simplemente, no útil. Legendre se transforma, no tienen ningún significado en la mecánica Newtoniana, aparte de su resumen de asignación de puntos en las líneas, que es bastante inútil a menos que su formulación se lleva a cabo en la cotangente de un paquete.