En primer lugar, permítanme señalar que la $E:x^3-2y^3=1$, junto con el punto de $[1,0,1]$, es una curva elíptica. Su Mordell-Weil grupo puede ser calculado mediante la búsqueda de un modelo de Weierstrass, que puede ser elegido para ser $y^2=x^3-27$, y, a continuación, compruebe que el $E(\mathbb{Q})\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$. Por lo tanto, sólo hay dos racional puntos en $E$, es decir, $[1,0,1]$ e $[-1,-1,1]$ en coordenadas proyectivas, que corresponden a $(1,0)$ e $(-1,-1)$ afín en las coordenadas.
Para calcular la integral de puntos utilizando el método que mencionas, primero debe notar que si se $K=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$, entonces la norma de $K$ a $\mathbb{Q}$ de % de $a+b\sqrt[3]{2}$ es $a^3+2b^3$, para cualquier enteros $a,b\in\mathbb{Z}$. Por lo tanto, si $x,y$ son enteros tales que
$$x^3-2y^3=1,$$
a continuación, $x-y\sqrt[3]{2}$ tiene norma $1$. Desde $K/\mathbb{Q}$ tiene una real incorporación, y dos complejos de incrustaciones, de Dirichlet de la unidad teorema dice que el grupo de la unidad tiene rango $1$. Por otra parte, la única raíces de la unidad, se $\pm 1$, y un generador de la parte libre de la unidad del grupo es $-1+\sqrt[3]{2}$. Por lo tanto,
$x-y\sqrt[3]{2}$ es de la forma $$\pm (-1+\sqrt[3]{2})^n$$
para algunos $n\in\mathbb{Z}$. Al $n=0$, nos damos cuenta de que $-1$ tiene norma $-1$, por lo que solo consigue una solución posible, es decir,$x=1$, $y=0$. Al $n=1$, sólo obtenemos una solución, a saber,$x=-1$, $y=-(1)=-1$. En fin para terminar la prueba, usted necesita demostrar que para cualquier otro $n$, el poder $(-1+\sqrt[3]{2})^n$ no es de la forma $a+b\sqrt[3]{2}$, es decir, hay un no-cero término en $\sqrt[3]{4}$. Por ejemplo,
$$(-1+\sqrt[3]{2})^{-1} = 1+\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4},$$
así que esto no ceder un punto en $x^3-2y^3=1$.
