Cómo probar esta identidad para ${}_3F_2$ (Función hipergeométrica generalizada)?

Question

Esto puede parecer una tarea, pero no lo es. He encontrado esta identidad (usando Mathematica):

$$ {}_3F_2 \left( \matrix{1,1,1 \\ 2, e} ; 1 \right) = (e-1) \psi^{\prime}(e-1), $$

válido para $e$ con $\mathcal{R}(e)>0$ , donde ${}_3F_2$ es la función hipergeométrica generalizada (como en aquí ) y $\psi^{\prime}$ es la función trigamma (definición aquí ).

También está en el sitio de Wolfram: http://functions.wolfram.com/07.27.03.0083.01

El problema es que... que no tengo ni idea de cómo probarlo. He intentado usar la definición del símbolo de Pochhammer y algunas simplificaciones para obtener esto:

$$ {}_3F_2 \left( \matrix{1,1,1 \\ 2, e} ; 1 \right) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\Gamma(k+1)\Gamma(e)}{(k+1)\Gamma(e+k)}, $$

pero ni siquiera se acerca a la serie de la función trigamma:

$$ (e-1) \psi^{\prime}(e-1) = (e-1) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(e-1+n)^2}. $$

Se agradece cualquier ayuda/consejo/referencia.

Answer 1

Transformación integral de Euler en su primer enlace permite escribir el lado izquierdo como una integral de un $_2F_1$ función \begin {align} _3F_2 \left [ \begin {array}{c}1,1,1 \\2 ,e \end {array};1 \right ]= \frac { \Gamma (e)}{ \Gamma (e-1)} \int_0 ^1 (1-t)^{e-2}{}_2F_1 \left [ \begin {array}{c}1,1 \\2\end {array};t \right dt, \end {align} que a su vez puede expresarse mediante funciones elementales: $$ {}_2F_1\left[\begin{array}{c}1,1\\2\end{array};t\right]=-\frac{\ln(1-t)}{t}.$$ (La última identidad se puede derivar fácilmente utilizando expansiones en serie de ambos lados). Así que $$ _3F_2\left[\begin{array}{c}1,1,1\\2,e\end{array};1\right]=-(e-1)\int_0^1 (1-t)^{e-2}\frac{\ln(1-t)}{t}dt.$$ Obsérvese que la integral de la derecha está perfectamente definida en $t=0$ ya que $$\displaystyle\frac{\ln(1-t)}{t}=-1+\frac{t}{2}-\frac{t^2}{3}+\ldots$$ Además, esto no es más que la representación integral estándar para $-\psi'(e-1)$ ; véase, por ejemplo, la 2ª fórmula en su 2º enlace .