¿Las derivadas anticonmutan con las variables de Grassmann y los números complejos en una integral de trayectoria de muchos cuerpos?

Question

Estoy tratando de aprender a hacer una integral de trayectoria de muchos cuerpos para tanto fermiones como bosones y estoy atascado. Estoy siguiendo Altland y Simons - Condensed Matter Field Theory, capítulo 4. En la página 167, la ecuación 4.27 es

\begin{equation} Z = \int \prod_{n=1}^N d(\bar{\psi}^n,\psi^n) e^{-\delta \sum_{n=0}^{N-1}[\delta^{-1}(\bar{\psi}^n - \bar{\psi}^{n+1}).\psi^n + H(\bar{\psi}^{n+1},\psi^n)]} \end{equation}

(He puesto $\mu=0$ de la ecuación del libro). El límite $N \rightarrow \infty$ que implica varias cosas, pero la parte que no entiendo es la siguiente:

\begin{equation} \lim_{N \rightarrow \infty} \delta^{-1}(\bar{\psi}^n - \bar{\psi}^{n+1})) \rightarrow -\partial_\tau \bar{\psi} \end{equation}

que está bien, pero la siguiente es

\begin{equation} Z = \int D(\bar{\psi},\psi) e^{-S[\bar{\psi},\psi]}, \hspace{4mm} S[\bar{\psi},\psi] = \int_0^\beta [\bar{\psi} \partial_\tau \psi + H(\bar{\psi},\psi)] \end{equation}

Mi pregunta es cómo se pasa de $-\partial_\tau \bar{\psi}$ que es $-\partial_\tau \bar{\psi} \psi$ en $Z$ a $+\bar{\psi} \partial_\tau \psi$ ? Si esto fuera sólo para fermiones, supongo que la variable de Grassmann $\psi$ y la derivada $\partial_\tau$ anticommute que es de donde viene el signo menos. Pero el libro dice que es válido tanto para bosones como para fermiones; para los bosones, el $\psi$ es un número complejo, por lo que no esperaría el signo menos.

Agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

Jane, $\partial_\tau$ es claramente una derivada con respecto a un tiempo bosónico $\tau$ por lo que desplazamientos con todo lo demás (excepto las funciones de $\tau$ con la que tiene un conmutador distinto de cero), en lugar de anticonmutarse. Sólo si ambos objetos tienen carácter fermiónico (si ambos son Grassmann-impar), anticonmutan entre sí (o tienen un anticonmutador evaluable).

Sin embargo, no hay ningún error de signo en las fórmulas. Has hecho una buena pregunta: ¿cómo se llega de $$-\partial_\tau \bar\psi \psi$$ a $$+\bar\psi\partial_\tau \psi$$ Hay que tener un poco de paciencia para responder a esta pregunta. Observa que en las dos expresiones se diferencia una variable diferente. En la primera, es $\bar\psi$ que se diferencia; en el segundo, es $\psi$ .

No puedes mover derivados sin más. Incluso para funciones bosónicas, $uv'$ es otra cosa que $u'v$ ¿No es así?

Así que las dos expresiones no son "obviamente iguales", ni siquiera hasta un signo, y para convertir una en la otra, hay que integrar cuidadosamente por partes. Obsérvese que $$\partial_\tau (\bar\psi \psi) = \partial_\tau\bar\psi \psi + \bar\psi\partial_\tau\psi. $$ Esta "regla de Leibniz" procedía igual que para la derivada de productos de factores bosónicos porque tenía que burbujear $\partial_\tau$ a través de la $\psi$ y $\partial_\tau$ es un objeto bosónico. Si escribiera una regla de Leibniz para una derivada grassmanniana, tendría que cambiar el signo cada vez que la derivada burbujeara a través de un factor Grassmann-impar.

Pero aquí tratamos con bosónica $\tau$ -derivadas por lo que la regla de Leibniz es como siempre ha sido. Así que implica que hasta una derivada total - a saber, el lado izquierdo $\partial_\tau (\bar\psi \psi)$ que se integra a cero a lo largo del tiempo periódico euclidiano - los dos términos del lado derecho son opuestos entre sí. De ahí viene el signo menos.

Answer 2

La respuesta a su pregunta no se refiere $\psi$ siendo una variable de Grassman. Hagamos esto:

Empieza con:

\begin{equation} \lim_{N \to \infty} \sum_n (\bar{\psi}^n - \bar{\psi}^{n+1}) \psi^n =\lim_{N \to \infty} \sum_n (\bar{\psi}^n\psi^n - \bar{\psi}^{n+1}\psi^n) \end{equation}

Antes de tomar el límite $N\to \infty$ desplazar la variable ficticia $n$ en segundo término a $n-1$ (No recuerdo, pero tal vez es necesario utilizar $\psi(\beta) = -\psi(0)$ en algún momento), obtenemos:

\begin{equation} \lim_{N \to \infty} \sum_n (\bar{\psi}^n\psi^n - \bar{\psi}^{n}\psi^{n-1}) = \lim_{N \to \infty} \delta \sum_n \bar{\psi}^n \dfrac{(\psi^n - \psi^{n-1})}{\delta} \end{equation}

Por lo tanto, al aplicar el límite $N\to\infty$ lo consigues:

\begin{equation} \int d\tau \ \bar{\psi}(\tau) \partial_\tau \psi(\tau), \end{equation}

resolver el problema.

Sin embargo, si desea una forma elegante de transformar $\partial_\tau\bar{\psi}\psi$ a $-\bar{\psi}\partial_\tau\psi$ se define la derivada de un producto de Grassman por una variable normal (por normal me refiero a cualquier cosa que no sea Grassman) como:

$$ \partial_\tau (\eta \eta\prime) = \partial_\tau\eta \eta\prime + \eta\partial_\tau\eta\prime \longrightarrow \partial_\tau\eta \eta\prime = \partial_\tau (\eta \eta\prime) - \eta\partial_\tau\eta\prime $$ por lo tanto:

\begin{equation} \int d\tau \ \partial_\tau\bar{\psi}(\tau) \psi(\tau) = \left[\bar{\psi}(\tau) \psi(\tau)\right]^\beta_0 -\int d\tau \ \bar{\psi}(\tau) \partial_\tau \psi(\tau) =-\int d\tau \ \bar{\psi}(\tau) \partial_\tau \psi(\tau), \end{equation} también resolver el problema.