una cierta fracción continua simple

Question

Dado el índice de oro:$$\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ $ y la siguiente fracción continua simple:

PS

Para$$G(q,k)=\cfrac{1}{1-q+\cfrac{1}{1-{q^3}^k+\cfrac{1}{1-{q^5}^k+\cfrac{1}{1-{q^7}^k+\ddots}}}}$, compruebe / refute que la fracción continua converge al límite$|q|\lt1$$$\frac{\phi}{1-{\phi}q}$ k \ to \ infty $.

A medida que k se hace finamente grande, el cfrac parece acercarse al límite.

( Edición ): fue un error de mi parte, malinterpreté el recíproco de phi como phi. El límite es de hecho$ as $ $

Answer 1

Tome $k=1$ e $q=1/2.$, En los primeros convergents son (empezando con el trivial cero que aquí es $0$) $$C(0)=0,\\ C(1)=2,\\ C(2)=14/23=0.60869..,\\ C(3)=946/969=0.97626..,\\ C(5)=177486/217271=0.81688.$$ Como los términos de $b(k)=1-(1/2)^{2k-1}$ ir tan rápidamente a $1$ parecería extraño (para mí) si el convergents fueron no alternativamente por debajo/por encima del valor de la fracción. [Nota: no he poved este.] Dado que parece que tenemos la convergencia a algo sin duda entre las $0.82$ e $0.97.$

Sin embargo, su fórmula predice $\phi/(1-\phi \cdot (1/2)),$ sobre $8.47213..$, por lo que a mí me parece que su fórmula está en algún lugar. Traté de variación de la fórmula, pero no podía conseguir un partido. También parece poco probable (para mí) de que no hay ninguna ocurrencia del parámetro $k$ en dicha fórmula.

Acerca de tomar el límite de $k \to \infty.$ Supongamos que volvemos a usar $q=1/2$, por lo que la predicción de la fórmula que da, aproximadamente, $8.47$ como antes. El término que se utiliza para la continuación de la fracción es $b(j,k)$ donde $$b(j,k)=1-(1/2)^{(2j-1)^k},$$ and where $k$ is fixed and the index $j$ is for the continued faction $[0;b(1,k),b(2,k),\cdots]$ in usual continued fraction notation. Note that $b(1,k)=1-(1/2)^1=1/2$ independent of $k$, so with the zeroth and first convergents being $0,2$ we expect the fraction to converge to something in the interval $(0,2),$ provided convergents alternate above and below. The second convergent is the smallest which uses the parameter $k,$ and we have $b(2,k)=1-(1/2)^{3*k},$ y si simplificado tenemos la segunda convergente $$\frac{2(2^{3^k}-1)}{3 \cdot 2^{3^k}-1}.$$ Esto puede ser visto acercarse a $2/3$ (rápidamente) como $k \to \infty,$ o por algebraicas reordenamiento es $$\frac{2}{3}(1-\frac{2/3}{2^{3^k}-1/3})$$ making clear the approach to $2/3$.$ [Mi polydigit calculadora de no hacer bien obtener aproximaciones directamente por este]

De todos modos parece que el límite de $k \to \infty$ de la continuación de la fracción está en algún lugar entre el $2/3$ e $2$ (confiando en la alternadamente por encima/debajo de comportamiento, que a su vez no he probado para esto). Si esto es correcto es en ninguna parte cerca de $8.$

Sólo para aclarar, seguí en el chat con el OP y tomó nota de la $1/(\phi-q)$ del valor. Un divertido cfrac, de la OMI.

Answer 2

siguiente Tito Piezas III comentario que voy a dar algunos ejemplos concretos. En primer lugar, vamos a tomar la segunda convergente de la cfrac

$$G(q,k)\approx\cfrac{1}{1-q+\cfrac{1}{1-{q^3}^k}}$$ and expand it into a power series as $k\to\infty$

$$G(q,k)\approx \frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}q+\frac{1}{2^3}q^2+\dots$$

Que converge a $\frac{2}{3}$ para$q=\frac{1}{2}$, como se muestra por Coffeemath y también por la serie geométrica de la fórmula $$\frac{a}{1-aq}$$ with $a=\frac{1}{2}$. Tomar la tercera convergente,tenemos

$$G(q,k)\approx\cfrac{1}{1-q+\cfrac{1}{1-{q^3}^k+\cfrac{1}{1-{q^5}^k}}}$$ and its power series for $k\to\infty$

$$G(q,k)\approx \frac{2}{3}+\frac{2^2}{3^2}q+\frac{2^3}{3^3}q^2+\ddots$$

Que converge a $1$. El cuarto convergente,

$$G(q,k)\approx\cfrac{1}{1-q+\cfrac{1}{1-{q^3}^k+\cfrac{1}{1-{q^5}^k+\cfrac{1}{1-{q^7}^k}}}}$$

es,

$$G(q,k)\approx \frac{3}{5}+\frac{3^2}{5^2}q+\frac{3^3}{5^3}q^2+\ddots$$

Haciendo esto ad infinitum ,se observa que la proporción de la serie geométrica es siempre una relación de dos números de fibonacci consecutivos ,para cada uno de los convergentes.

Tomando el límite de la cfrac hasta el infinito ,nos lleva a la conjetura de que el límite dado.