demostrar que $\lim_{x\rightarrow 0} \left(\frac{\sin(x)}{x}\right)^{1/x^2} = e^{-1/6}$

Question

Veo que se trata de una forma indeterminada, por lo que me acerco a la regla de L'Hopital, pero no puedo encontrar este límite. Por favor, ayúdame a encontrar este límite.

Answer 1

$$\lim _{ x\rightarrow 0 }{ { \left( \frac { \sin { x } }{ x } \right) }^{ \frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } } } =\lim _{ x\rightarrow 0 }{ { \left( 1+\frac { \sin { x } }{ x } -1 \right) }^{ \frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } } } =\lim _{ x\rightarrow 0 }{ { \left( 1+\frac { \sin { x-x } }{ x } \right) }^{ \frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } } } =$$ por lo que $\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { \sin { x-1 } }{ x } } =0\quad $ podemos utilizar aquí una forma límite bien conocida $$\lim _{ x\rightarrow 0 }{ { \left( 1+x \right) }^{ \frac { 1 }{ x } } } =e$$

entonces podemos escribirlo como $$=\lim _{ x\rightarrow 0 }{ { { \left[ { \left( 1+\frac { \sin { x } -x }{ x } \right) }^{ \frac { x }{ \sin { x } -x } } \right] }^{ \frac { \sin { x } -x }{ x } \cdot \frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } } } } $$ la parte interna del límite es claramente es $e$ así que $$=\quad { e }^{ \lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { \sin { x } -x }{ x } \cdot \frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } } }$$ ahora para encontrar el límite del exponente usamos la regla de L'Hospital aquí tres veces $$\overset { L'Hospital }{ = } { e }^{ \lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { \cos { x } -1 }{ 3{ x }^{ 2 } } } }=\\ \overset { L'Hospital }{ = } { e }^{ \lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { -\sin { x } }{ 6{ x } } } }=\overset { L'Hospital }{ = } { e }^{ \lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { -\cos { x } }{ 6 } } }={ e }^{ -\frac { 1 }{ 6 } }$$

Answer 2

Puede utilizar simplemente $\lim_{z\to +\infty}\left(1+\frac{\alpha}{z}\right)^z = e^{\alpha}$ y apretando, ya que en una vecindad del origen $$ 1-\frac{x^2}{6}\leq \frac{\sin x}{x} \leq e^{-x^2/6} $$ se mantiene.

Answer 3

Sugerencia: utilice este hecho $$\lim_{x \to 0 }(1+x)^{\dfrac1x}=e$$ $$\lim_{x \rightarrow 0}(\frac{sin x}{x})^{\dfrac{1}{x^2}}=\\ \lim_{x \rightarrow 0}(\dfrac{x-\dfrac{x^3}{6}+o(x^5)}{x})^{\dfrac{1}{x^2}}=\\ \lim_{x \rightarrow 0}(1-\dfrac{x^2}{6})^{\dfrac{1}{x^2}}=\\ \lim_{x \rightarrow 0}(1-\dfrac{x^2}{6})^{\dfrac{-6}{x^2}\times \dfrac{1}{-6}}=\\ \lim_{x \rightarrow 0}((1-\dfrac{x^2}{6})^{\dfrac{-6}{x^2})^{ \dfrac{1}{-6}}}=\\ e^{\dfrac{1}{-6}}$$

Answer 4

Una pista:

Reescribe el límite como $$\lim_{x\to 0}\exp\left( \frac{1}{x^2} \ln \left(\frac{\sin x}{x} \right) \right)= \exp \left(\lim_{x\to 0} \frac{1}{x^2} \ln \left(\frac{\sin x}{x}\right) \right)$$ y aplicar la regla de L'Hospital en $$\lim_{x\to 0} \frac{1}{x^2} \ln \left(\frac{\sin x}{x}\right).$$ Esto es posible ya que la función exponencial $\exp$ es continua. También debe saber que $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ y $\ln 1=0$ .

Answer 5

$$ \begin{aligned} \lim _{x\to 0}\left(\frac{\sin \left(x\right)}{x}\right)^{\frac{1}{x^2}}\: & = e^{\lim _{x\to 0}\left(\frac{1}{x^2}\cdot \:ln\left(\frac{sinx}{x}\right)\right)} \\& = e^{\lim _{x\to 0}\left(\frac{1}{x^2}\cdot \ln\left(\frac{x-\frac{x^3}{6}+o\left(x^3\right)}{x}\right)\right)} \\& = e^{\lim \:_{x\to \:0}\left(\frac{1}{x^2}\cdot \ln\left(1-\frac{x^2}{6}+o\left(x^3\right)\right)\right)} \\& \approx_0 e^{\lim \:_{x\to \:0}\left(-\frac{x^2}{x^26}\right)} \\& = \color{red}{e^{-\frac{1}{6}}} \end{aligned}$$

Resuelto con la expansión de Taylor $(\sin(x) = x-\frac{x^3}{6}+o(x^3))$ y aproximaciones asintóticas $(\ln(1+x) \approx_0 x)$