Cómo definir la solución débil para una elíptica de la PDE con los no-cero de Dirichlet de la condición de límite?

Question

Para homogénea de la condición de frontera de Dirichlet, por ejemplo $$ \left\{\!\! \begin{aligned} &-\Delta u+c(x)u=f(x),x\in\Omega\\ &u|_{\partial\Omega}=0 \end{aligned} \right. $$ La solución débil se define como una función de $u\in H_0^1(\Omega)$ satisfactorio $$ \int_\Omega\left(\sum_{i=1}^n\frac{\partial u}{\partial x_i} \frac{\partial v}{\partial x_i}+c(x)uv\right)\,dx=\int_\Omega fv\,dx $$ para cada $v\in H_0^1(\Omega)$.

Me pregunto cómo definir la solución débil para una elíptica de la PDE con los no-cero de la condición de frontera de Dirichlet.

Por ejemplo, $$ \left\{\!\! \begin{aligned} &-\Delta u+c(x)u=f(x),x\in\Omega\\ &u|_{\partial\Omega}=g \end{aligned} \right. $$

Evans Ecuaciones Diferenciales Parciales (1a edición, la Sección 6.1.2) dice:

... es necesario para $g$ a ser la huella de algunos de $H^1$ función, decir $w$. Pero, a continuación, $\tilde u:=u-w$ pertenece a $H_0^1(\Omega)$, y es un solución débil de la frontera-el problema del valor $$ \left\{\!\! \begin{aligned} &-\Delta \tilde u+c(x)\tilde u=\tilde f(x),x\in\Omega\\ &\tilde u|_{\partial\Omega}=0 \end{aligned} \right. $$ donde $\tilde f:=f-(-\Delta w+c(x)w)$

El problema es: ¿cómo encontrar la función de $w$, de una manera constructiva?

Puede usted por favor ayuda? Gracias.

Answer 1

Usted no encontrar $w$. $w$ es un "dado", en el siguiente sentido. Para la débil formulación del problema para hacer sentido, la declaración de

$$ u|_{\partial\Omega} = g $$

es de hecho la siguiente declaración: $\exists$ fijos $w \in H^1(\Omega)$ tal de que la traza de $w$ $\partial \Omega$es igual a la traza de $u$.

La sección pertinente en Evans está tratando de explicar esto. Básicamente lo que él está tratando de decir es que la intuición para el problema de Dirichlet con "fuerte" de soluciones, donde se prescriben valor de límite como alguna función continua $g$, en el límite, debe ser reemplazado por un apropiado versión débil define en relación a la traza operador hypersurfaces, cuando se considera la débil formulación del problema. Esto es debido a que una solución de $u$, como un objeto en el espacio $W^{1,2} = H^1$, es sólo un equivalente de la clase de las funciones definidas en conjuntos de medida cero. Si $\Omega$ es suficientemente regular de conjunto abierto, $\partial\Omega$ tiene medida cero, por lo que no tiene sentido el estado que $u$ coincide con $g$$\partial\Omega$, ya que el $u$ siempre puede ser modificado sólo en $\partial\Omega$ a dar cualquier valor que desee allí.

Usted debe comparar esto con, por ejemplo, el Teorema 8.3 en Gilbarg y Trudinger, Elíptica ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden, que los estados

Vamos a [$L$ ser un operador elíptico]. A continuación, para $\psi \in W^{1,2}(\Omega)$ y $g,f^i\in L^2(\Omega)$, $i = 1 , \ldots, n$, la generalizada del problema de Dirichlet, $Lu = g + D_i f^i$ en $\Omega$, $u = \psi$ en $\partial\Omega$ es la única solución.

Answer 2

Me encontré con esta vieja pregunta y me gustaría decir algo al respecto. Mientras que el punto de vista proporcionados por Willie Wong es satisfactoria, no es una teoría de la "inversa huellas", que responde OP pregunta en negrita, más o menos directamente. Por ejemplo, eche un vistazo a la siguiente teorema tomado de Kufner, Juan, Kufcik, "la Función de los Espacios".

6.9.2 Teorema Deje $p>1$ $\Omega\in C^{0, 1}$ [lo que significa que su límite es de Lipschitz y delimitado]. Entonces existe un continuo lineal de asignación de $T$ $W^{1-1/p, 1}(\partial \Omega)$ a $W^{1,p}(\Omega)$ tal que para $v=Tu$ tenemos $v=u$ $\Omega$ [en la traza de sentido].

La idea de la prueba es más simple de lo que uno podría esperar (al menos, es más sencillo de lo que yo esperaba). Supongamos que $$\Omega=\mathbb{R}^{n+1}_+=\{(x, t)\in \mathbb{R}^n\times \mathbb{R}\ :\ t>0\}.$$ Si usted tiene una función de $u\in C^{\infty}_0(\mathbb{R}^n)$ usted puede construir una función de $v\in C^\infty(\mathbb{R}^{n+1}_+)$ por convolución contra el calor del núcleo: $$v(x,t)=\frac{1}{(4\pi t)^{n/2}}\int_{\mathbb{R}^n} e^{-\frac{\lvert x-y\rvert^2}{4t}}u(y)\, dy.$$ A continuación, la traza de a $v$ sobre el límite de $\{t=0\}$$u$, como ya sabemos.

Si $\Omega$ es un dominio con un buen límite, podemos utilizar los gráficos para realizar esta construcción a nivel local y luego el parche de todo, con una partición de la unidad. Esta es la idea. Por desgracia, hay algunas dificultades técnicas que requieren la introducción de la engorroso fractionary orden espacios de Sobolev $W^{1-1/p, p}$.