Número de grupos abelianos de orden 256

Question

Estoy tratando de encontrar el número de grupos abelianos de orden 256. ¿Es correcto lo siguiente?

Podemos escribir $256=2^8$ entonces sabemos que esto puede ser representado en la forma

$C_{n_1}\times.....\times C_{n_s}$ donde $n_i|n_{i+1}$ y $n_1.....n_s=|G|$ Así que esto puede representarse como:

$C_2\times C_2\times C_2\times C_2\times C_2\times C_2\times C_2\times C_2, C_2\times C_2\times C_2\times C_2 \times C_2\times C_2 \times C_4.....$

Que creo que llega a 22 grupos si se sigue así, ¿hay alguna forma más rápida? Saludos

Answer 1

Se puede encontrar el número de grupos abelianos de orden $256$ por [partición](http://en.wikipedia.org/wiki/Partition%28numbertheory%29) $8$ es decir, encontrar el número de formas en que se pueden sumar números enteros positivos para que sean iguales a $8$ : Si dividimos el número 8, veremos que hay $22$ formas distintas de sumar enteros positivos para que sean iguales $8$ y por lo tanto $22$ grupos abelianos de orden $256$ .

Antes de la edición de la pregunta:

Me temo que tu factorización primaria está mal: $256 = 2^8$ .

Si quieres encontrar grupos abelianos de orden $252 = 2^2 \times 3^2 \times 7$ sí, entonces hay cuatro grupos abelianos distintos de orden $252$ y su lista es correcta, salvo que falta un factor de $C_3$ en su tercer grupo.

Answer 2

$2^4:$ $$G_1=C_2\times C_2\times C_2\times C_2$$ $$G_2=C_4\times C_4$$ $$G_3=C_8\times C_2$$ $$G_4=C_{16}$$ $3^2:$ $$G_5=C_3\times C_3$$ $$G_6=C_9$$ $7:$ $$G_7=C_7$$ Ahora intenta construir los grupos abelianos deseados de ese orden. Aquí asumo $|G|=2^4\times 3^2\times 7$ . Algunos de ellos son $$G=G_1\times G_5\times G_7\cong C_{14}\times C_6\times C_{6}\times C_2$$ $$G=G_1\times G_6\times G_7\cong C_{18}\times C_6\times C_{14}\times C_2\times C_2$$ $$G=G_2\times G_5\times G_7\cong C_{12}\times C_{12}\times C_7\cong C_{12}\times C_{84}$$ $$\vdots$$