¿Cómo resolver soluciones a esta diofantina?

Question

Tengo la ecuación diofántica$y(x+y+z) = xz$ donde todas las variables son enteros positivos. Dado un límite de$y \leq B$, ¿cómo puedo contar la cantidad de soluciones?

Answer 1

Aviso $$ y(x+y+z) = xz \iff 2y^2 = (y-x)(y-z)$$

Para cualquier solución de $(x,y,z) \in \mathbb{Z}_{+}^3$ de la ecuación anterior, $2y^2 > 0$ implica $(y-x), (y-z)$ son ambos positivos o ambos negativos. El $1^{st}$ de los casos se ha descartado porque eso implicará $0 < (y-z), (y-x) < y$ y hacer $(y-x)(y-z) < 2y^2$.

Como resultado, cualquier solución de la anterior ecuación debe tener la forma:

$$(x,y,z) = (y+d_1, y, y+d_2)\tag{*}$$

donde $d_1, d_2 \in \mathbb{Z}_{+}$ son divisores de $n$ e $d_1 d_2 = 2y^2$. Si consideramos que las soluciones difieren en el orden de la $x$ e $z$ como distintos, el número de soluciones de $(*)$ para $y$ equivale a un fijo $n$ es sólo $d(2n^2)$, el número de divisores de $2n^2$. El número total de soluciones para $0 < y \le B$ se convierte en:

$$\mathscr{N}_B = \sum_{k=1}^{B} d(2k^2)$$

Dirichlet ha mostrado que el orden promedio del divisor de la función satisface la desigualdad:

$$\sum_{k=1}^{x} d(k) \simeq x\log x + (2\gamma - 1)x + O(\sqrt{x})$$

Desde $d(2k^2) > d(k)$, esto inmediatamente nos da una cota inferior del número de soluciones:

$$\mathscr{N}_B = \sum_{k=1}^{B} d(2k^2) \ge O(B \log B)$$

Answer 2

Si $$ y=(x-z) $$ entonces $$ 2x^2 - 2xz = xz \Longrightarrow 2x^2 - 3xz = 0 $$ Que ha entero soluciones: $$ x=3n, n\in \mathbb{Z}, z= 2n, n\in \mathbb{Z} \Longrightarrow y= n\in \mathbb{Z} $$

Por ejemplo, elegir cualquier número entero positivo $m$. Entonces:
$$ (x,y,z) = (3m,m,2m) $$ es una solución para la ecuación y el número de estos tipos de soluciones bajo un cierto enlazado $y\le B$ donde $B$ es un número entero positivo es $B$.

Por supuesto, estos no encapsular todas las soluciones. $$ (x,y,z) = (7,5,30) $$ Es una solución que no tiene esta construcción.
Nos puede decir, sin embargo, que si $y \le B$ e $B >> 1$ entonces $B$ es un límite inferior para el número de soluciones.

Answer 3

Puede reorganizar su ecuación a$y^2+(x+z)y-xz=0$ y usar la ecuación cuadrática para obtener$y=\frac 12\left(-(x+z)+\sqrt{x^2+6xz+z^2}\right)$ donde tomamos el signo más para hacer que$y$ sea positivo. Ahora la raíz cuadrada necesita ser integral. Debido a la simetría, podemos requerir que$x \lt z$ y cualquier múltiplo de una solución vuelva a ser una solución. Encuentro una clase de soluciones$(n, n-1,2n^2-3n+1)$ que da$(2,1,3), (3,2,10), (4,3,21), (5,4,36), \ldots$ y otra$(2n+1,2n-1,4n^2-2n)$ que da soluciones$(5,3,12),(7,5,30),(9,7,56),(11,9,90)\ldots$ Parece que hay más. Parece que agruparlos por$x-y$ podría ser útil.

Answer 4

la ecuacion:

$y(y+x+z)=xz$

Tiene las soluciones:

$y=ps$

$x=2s^2+ps$

$z=p^2+ps$

$p,s$ - enteros y nos establece.