Ecuación diofántica de potencia:$(a+1)^n=a^{n+2}+(2a+1)^{n-1}$

Question

Cómo resolver los siguientes potencia ecuación Diophantine en enteros positivos con $n>1$:$$(a+1)^n=a^{n+2}+(2a+1)^{n-1}$$What I have got so far: Let $p$ be a prime divisor of $2a+1$, then take modulo $p$ of both sides of the equation$$(-a)^n \equiv a^{n+2} \pmod p$$ $$(-1)^n \equiv a^2 \pmod p$$For even $n$ last relation results in$$a^2 \equiv 1 \pmod p$$It follows that$$p|a(2a+1)-2(a^2-1)=a+2$$$$p|2(a+2)-(2a+1)=3$$Thus $p=3$ and $2a+1=3^k$ (Other case for odd $n$ is similar and results in $2a+1=5^k$). No sé cómo proceder a partir de aquí! Por favor, eche un vistazo a esto y ver lo que se obtiene :)

He publicado una similar (que era más fácil y pude resolver) como un desafío, pero @Aravind dijo que no debemos post desafío preguntas aquí. Así que he eliminado.

Creo que sólo hay una solución y que es $(a, n)=(1, 2)$.

Answer 1

Si la ecuación se mantiene, entonces $(a+1)^n>(2a+1)^{n-1}$ e $(a+1)^n>a^{n+2}$.

La multiplicación de da $(a+1)^{2n} > (2a+1)^{n-1}a^{n+2}$. Esto puede ser reescrita como $(a^2+2a+1)^n > (2a^2+a)^{n-1} a^3$. Sin embargo, si $a\geq 3$,, a continuación, $a^2+2a+1 < 2a^2+a$ e $a^2+2a+1 <a^3$, lo que da una contradicción.

Por lo tanto $a=1$ o $a=2$. La primera da $2^n=1+3^{n-1}$. Con la inducción, uno puede demostrar que el lado derecho es más grande para $n>2$. Esto sólo da la solución $(1,2)$.

El segundo da $3^n=2^{n+2}+5^{n-1}$. Con la inducción, uno puede demostrar que el lado derecho es más grande para $n>3$. También se puede comprobar que no hay igualdad para $n=1,2,3$.