Demostrar que existe $x_n$ tal que $0 \leq x_n \leq 1-\frac{1}{n}$ y $f(x_n)=f(x_n+\frac{1}{n})$ .

Question

Supongamos que la función $f:[0,1] \to \mathbb{R}$ es continua en $[0,1]$ y $f(0)=f(1)$ . Demostrar que para cada número natural $n$ , allí existe $x_n \in \mathbb{R}$ tal que $0 \leq x_n \leq 1-\frac{1}{n}$ y $f(x_n)=f(x_n+\frac{1}{n})$ .

Aunque no sé cómo sería la prueba, tengo la fuerte sensación de que tiene algo que ver con el Teorema del Valor Intermedio, a juzgar por la continuidad de $f$ y la existencia de tal $x_n$ . Así que supongo que debo definir una función $g(x)=f(x)-f(x+\frac{1}{n})$ en $[0,\frac{1}{n}]$ y tratar de afirmar que $g(x_n)=0$ para algunos $x_n \in [0,\frac{1}{n}]$ . Desgraciadamente no sé cómo proceder a partir de aquí, quizás porque no he aprovechado el hecho de que $f(0)=f(1)$ .

Cualquier pista y sugerencia es muy apreciada. Gracias.

Answer 1

Este problema es complicado, es decir, hay una prueba que no utiliza el conjunto de herramientas habituales (IVT, por ejemplo).

Supongamos que no. Entonces existe $n \geq 1$ para lo cual, para cada $x \in [0,1-1/n]$ , $f(x) \neq f(x + 1/n)$ . El lado izquierdo y el derecho son funciones continuas, por lo que $\neq$ es un $<$ o un $>$ de forma idéntica en el dominio $[0,1-1/n]$ . Elija $>$ sin pérdida.

Enchufar $x = k/n$ tenemos $$ f(k/n) > f((k+1)/n) $$ Aplicando sucesivamente, obtenemos $$ f(0) > f(1/n) > \cdots > f((n-1)/n) > f(1) $$ que es una contradicción.

Answer 2

Considere $g_n(x)=g(x+\frac{1}{n})-g(x)$ para $x\in [0,\frac{n-1}{n}]$ .

Ahora $0=g(1)-g(0) = g_n(0) + g_n(\frac{1}{n}) + \dots g_n(\frac{n-1}n)$ . Si $g_n(\frac{k}k)=0$ para cualquier $k$ ya está hecho. Por otro lado, si no, ya que su suma es $0$ al menos uno de los valores $g_n(k/n)$ debe ser positivo y al menos uno debe ser negativo.

Ahora utiliza el teorema del valor intermedio.