Demostrar que el espacio abarcado es un subespacio invariante

Question

Sea $A$ sea real y deje que $\lambda = \alpha + i \beta$ sea un valor propio complejo de $A$ con vector propio $x + iy$ Demuéstrese que el espacio abarcado por $x$ y $y$ es un subespacio invariante de $A$ .

Lo que creo que tengo que demostrar: Creo que quiero mostrar $Av=xv$ y $Av=yv$ donde $v$ es el vector propio indicado anteriormente. ¿Es correcta esta suposición? Y si es así, no he tenido suerte probando esto. Si esto no es lo que se supone que debo demostrar, ¿podría alguien explicar lo que se supone que debo tratar de demostrar para este problema. Muchas gracias.

Answer 1

Pista: Debe demostrar que $Ax$ es una combinación lineal de $x$ y $y$ lo mismo para $Ay$ . Lo natural es explotar los hechos sobre conjugados complejos. ¿Qué significa $A$ hacer para $x-iy$ ? Aquí el hecho de que $A$ es real es crucial.

Puede ser útil señalar que $$Av=\lambda v=(\alpha + i\beta)(x+i y).$$ Expande el lado derecho.

Nota sobre el intento: Si pudieras demostrar lo que has intentado demostrar, eso sí que acabaría con todo. Pero lo que ha intentado demostrar no es necesariamente cierto. El espacio abarcado por $x$ no es necesariamente invariante, como tampoco lo es el espacio abarcado por $y$ . Lo que se le pide que demuestre es que si $W$ es el espacio abarcado por $x$ y $y$ entonces $AW\subseteq W$ . Pero $A$ puede hacer un poco de revolver de $W$ .