Cuando un electrón orbita en un campo magnético, ¿cómo exactamente precesa su espín?

Question

En el caso de un ciclotrón, con un campo magnético constante $B$ en la dirección vertical, un electrón en movimiento circula en una órbita horizontal.

La frecuencia del ciclotrón es $\omega = eB/m$.

Al mismo tiempo, el espín precesa alrededor del campo magnético con la frecuencia de Larmor. (Aquí asumo que $g=2$, así que ignoramos el momento magnético anómalo). Para $g=2$, la frecuencia de Larmor es la misma que la frecuencia del ciclotrón, si no me equivoco. Por lo tanto, el espín siempre apunta lejos del eje de rotación (que es la dirección del campo magnético). Entiendo que este tipo de experimentos se realizan regularmente con muchos electrones circulando en aceleradores de anillo.

Ahora aquí están mis preguntas simples y difíciles:

(1 - simple) (A) ¿Es correcto decir que el/los electrón(es), al mirar en la dirección del campo, orbita(n) con/ a lo largo de las manecillas del reloj, debido a la carga negativa? (B) ¿Y que el espín precesa en la misma dirección/sentido?

(2 - simple) ¿Es correcto decir que en el estado de espín arriba, por lo tanto el espín siempre apunta lejos del eje arriba del plano de rotación, y para espín abajo siempre apunta lejos abajo del plano de rotación? (Suponiendo que "arriba" es donde apunta el campo magnético B).

(3 - difícil) Los electrones tienen espín 1/2. Esto significa que su función de onda vuelve a sí misma después de una rotación de $4 \pi$. En el movimiento del ciclotrón, ¿qué sucede con la fase $\delta$ de la función de onda después de una órbita completa alrededor de $B$ en el espacio físico: ¿la fase giró por $2 \pi$ o por $4 \pi$, o por otro valor?

Answer 1

(3 - difícil) Los electrones tienen un espín de 1/2. Esto significa que su función de onda vuelve a sí misma después de una rotación de 4π. En el movimiento ciclotrónico, ¿qué sucede con la fase de la función de onda después de una órbita completa alrededor de B en el espacio físico: la fase rotó 2π o 4π, o algún otro valor?

Intento de respuesta: A lo largo de un camino en un campo magnético con un potencial vectorial $A$, la fase $\delta$ adquirida por la función de onda de una partícula cargada es $(e/\hbar) \int A dx$. Después de una órbita completa, el cambio de fase está dado por $\delta= e \Phi / h = e B \pi r^2 / h$, donde $r$ es el radio de la órbita y donde $h= 2 \pi \hbar$. Utilizando el radio ciclotrónico $r=m v / eB$ parece que obtenemos $$\delta = \pi (m v)^2/(e B h)$$

¡Espero que esto sea correcto! Este resultado de la fase $\delta$ adquirida por un electrón en órbita depende de su velocidad y del campo magnético. En cualquier caso, la relación para el cambio de fase orbital no es un múltiplo simple y fijo de $\pi$, como hubiéramos deseado.

(2 - simple) ¿Es correcto decir que en el estado de espín hacia arriba, por lo tanto, el espín siempre apunta lejos del eje por encima del plano de rotación, y para el espín hacia abajo siempre apunta lejos por debajo del plano de rotación? (Suponiendo que "arriba" es la dirección a la que apunta el campo magnético B.)

Esta pregunta debería ser respondida "sí" por un gráfico de hyperphysics:

En el estado de espín hacia arriba, el espín siempre apunta lejos del eje y por encima del plano de rotación, y para el espín hacia abajo siempre apunta por debajo del plano de rotación y afuera.

(1 - simple) (A) ¿Es correcto decir que el/los electrón(es), al mirar en dirección del campo, orbitan con/junto con las manecillas del reloj, debido a la carga negativa? (B) ¿Y que el espín precesiona en la misma dirección/sentido?

(A) Esto debería ser respondido "sí" por este gráfico de hyperphysics sobre el ciclotrón, que es para partículas con carga positiva aunque:

De hecho, el/los electrón(es), al mirar en dirección del campo, orbita(n) en sentido de las manecillas del reloj.

(B) La pregunta sobre la precesión de partículas con carga negativa debería ser respondida "sí" por esta imagen de wikipedia, donde la flecha roja grande es el campo magnético:

El sentido de la precesión es el mismo que el sentido de la rotación.

Answer 2

(3 - difícil) Los electrones tienen espín 1/2. Esto significa que su función de onda regresa a sí misma después de una rotación de 4π. En el movimiento del ciclotrón, ¿qué sucede con la fase después de una órbita completa alrededor de B en el espacio físico: la fase rotó por 2π o por 4π?

La rotación del sincrotrón es alrededor de un eje macroscópico, la rotación de 2 o 4π de la función de onda y la fase consecuente es alrededor de un eje que pasa por el centro de masa del electrón. La rotación macroscópica no es relevante.

Si uno quiere detallar, habrá fases que podrían ser modeladas cuánticamente, pero ya no estados simples de un solo electrón. Echa un vistazo para ver la complejidad aquí.

Editado después del comentario de OP:

Pero en el ciclotrón, la rotación de un electrón alrededor de su propio eje y el movimiento alrededor de la órbita están acoplados. Por lo tanto, se puede realizar la integral sobre el potencial vector A. ¿Cuál es el resultado? Eso es lo que quiero saber.

El electrón es una entidad cuántica, y la fase es una fase dentro de la función de onda Ψ del electrón, la cual es una función de (x, y, z, t) y la energía del momento del cuatrivector del electrón. En la distribución de probabilidad, que es el cuadrado del conjugado complejo de la función de onda, no hay fases. Las fases tienen un efecto medible solo en términos de interferencia, de lo contrario son irrelevantes, experimentos especializados deben ser diseñados para "medir" la fase.

Answer 3

... ¿en estado de giro hacia arriba ... el punto de giro siempre apunta lejos del eje por encima del plano de rotación, y para el giro hacia abajo siempre apunta hacia abajo por debajo del plano de rotación? (Suponiendo que "arriba" es donde apunta el campo magnético B).

La dirección del giro hacia arriba y hacia abajo tiene dos significados, que desafortunadamente a veces no se distinguen.

1. En los átomos, dos electrones no podrían ser idénticos en todos los números cuánticos. De Wikipedia:

   si dos electrones residen en el mismo orbital, y si sus valores de n, ℓ y mℓ son iguales, entonces su $m_s$ (número cuántico de espín) debe ser diferente, y por lo tanto los electrones deben tener espines de 1/2 y −1/2 opuestos.

   Esta afirmación es engañosa. El espín del electrón siempre es 1/2. Pero la orientación de los momentos dipolares magnéticos de dos electrones con n, ℓ, y mℓ idénticos deben ser diferentes. Los dos electrones están antiparalelos y esto se expresa como arriba y abajo.

2. El espín y el momento dipolar magnético de una partícula subatómica están claramente acoplados. Vamos a asumir que para el electrón - por definición arbitraria - el espín apunta en la dirección del polo norte de su momento dipolar magnético y podemos llamar a esto giro hacia arriba o 1/2 de giro. Luego, para el positrón, así como para el protón, el espín apunta en dirección opuesta al polo norte y lo llamamos entonces giro hacia abajo o para distinguirlo -1/2 de giro.

El momento dipolar magnético y el espín de las partículas subatómicas son propiedades intrínsecas (existentes bajo todas las circunstancias) y esta es la razón por la que la precesión de Larmor y la fuerza de Lorentz son observables y el momento dipolar magnético está asociado con un espín.

Volviendo a tu declaración anterior, el momento dipolar magnético de todos los electrones se alinea con el campo magnético externo y el espín de todos los electrones siempre apunta en la misma dirección que el campo magnético externo. (Para el positrón, su momento dipolar magnético se alinea de la misma manera que para los electrones, pero el espín apunta en dirección opuesta a la de los electrones. La manifestación de esto es la fuerza de Lorentz, cuyas direcciones son opuestas para el electrón y el positrón).

Los electrones tienen un espín de 1/2. Esto significa que su función de onda vuelve a sí misma después de una rotación de 4π. En el movimiento ciclotrón, ¿qué sucede con la fase de la función de onda después de una órbita completa alrededor de B en el espacio físico: la fase ha rotado 2π o 4π, o por otro valor?

Según Wikipedia, una partícula con espín 1/2 se puede imaginar de la siguiente manera:

Un punto único en el espacio puede girar continuamente sin enredarse. Observa que después de una rotación de 360 grados, la espiral cambia entre orientaciones en sentido horario y antihorario. Vuelve a su configuración original después de girar un total de 720 grados.

¿Qué tiene que ver la imaginación, de cómo se podría visualizar un espín medio, con el comportamiento de un electrón en movimiento en un campo magnético? ¿Cambia la trayectoria del electrón después de una o dos revoluciones en el ciclotrón? La respuesta tiene que ser claramente no. Por lo tanto, la fase permanece inalterada.