Demostrar que $0^0 = 1$ utilizando el teorema del binomio

Question

He leído en el libro de Donald Knuth que $0^0 = 1$ . Y se ha dicho que proviene de la fórmula básica de $(x+y)^r$ . ¿Alguien puede probar cómo viene?

Answer 1

Considere $$ (x+0)^n=\color{#00A000}{\binom{n}{0}x^n0^0}+\color{#C00000}{\binom{n}{1}x^{n-1}0^1+\dots+\binom{n}{n}x^00^n} $$ Como todos los términos rojos son $0$ para el lado izquierdo, $x^n$ para igualar el lado derecho, $x^n0^0$ necesitamos $0^0=1$ .

Además, tenemos $$ \sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}=(1-1)^n $$ Obsérvese que esto es válido para $n=0$ sólo si $0^0=1$ .

Answer 2

Definición de $0^0=1$ es necesario si queremos que el teorema del binomio sea cierto para $n=0$ : $$1=(1+0)^0=\binom{0}{0}1^0 0^0=\cdots$$

Answer 3

Otra "prueba" que creo que es bastante buena:

$$ \begin{align} (1-1)^n &= \sum_{k=0}^n\binom{n}{0}\times(-1)^k1^{n-k}\\ & = \binom{n}{0}-\binom{n}{1}+\binom{n}{2}-\binom{n}{3}+\dots\binom{n}{n} \end{align} $$

Esto corresponde a la serie alterna de la suma de una fila en el triángulo de Pascal:                                                               

Que corresponde $0^n$ , donde $n$ es el $(n+1)$ y casi siempre será 0. Ahora se puede comprobar fácilmente que esto es cierto para cualquier fila, excepto para la primera, que corresponde a $0^0$ . Ahora bien, ¿cuál es la serie alternada con una sola $1$ ?

Answer 4

Como se ha visto en otras respuestas, el teorema del binomio, en su formulación habitual, implica $0^0=1$ (el porqué de esto se explicará en el último párrafo). Esto deja 4 opciones:

(a) Aceptar $0^0=1$ como un hecho.

(b) Reformule el teorema del binomio de manera que ya no implique $0^0=1$ .

(c) Abandonar el principio de que las consecuencias de los teoremas ampliamente utilizados deben ser aceptadas como hechos.

(d) Reconocer que las matemáticas no son consistentes.

La letra d) me parece totalmente inaceptable. La opción (c) no es diferente. La opción (b) tampoco resuelve el problema, porque incluso si restringimos el teorema del binomio de modo que ya no implique $0^0=1$ La forma más general seguiría siendo ampliamente utilizada, e incluso si lográramos abordar eso, seguirían existiendo otros teoremas que implican $0^0=1$ . Queda la opción (a).

¿Por qué el teorema del binomio implica $0^0=1$ ? Aunque no quieras $0^0$ para ser definido, es muy fácil demostrar accidentalmente un teorema que implica $0^0=1$ . ¿Cómo? Diga $P_1$ y $P_2$ son productos, pero $P_1$ es un producto vacío (por ejemplo $x^0$ ), entonces $P_1 P_2$ se considera casi universalmente como $P_2$ . Pero este paso "inocente" significa que $P_1$ se interpreta como $1$ . De esta manera $x^0$ termina siendo visto como $1$ para todos $x$ , incluyendo $0$ . Así, se demuestra un teorema que implica involuntariamente $0^0=1$ . En resumen: a menos que uno divida la prueba en más casos (¿y por qué querría hacerlo?) para evitar activamente los productos vacíos, es fácil acabar probando algo que implica $0^0=1$ aunque no quieras.