Se me puede simplificar demasiado, como yo, saben muy poco acerca de la categoría de teoría, pero: ¿la transformada de Laplace, la cual-a mi limitada recuerdo-es una de morfismos entre ecuaciones diferenciales y ecuaciones algebraicas, de la clase como un functor?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Creo que la respuesta es "sí", pero no entre las ecuaciones diferenciales y ecuaciones algebraicas. En primer lugar, vamos a recordar algunos hechos acerca de la transformada de Fourier. La transformada de Fourier se pueden definir en cualquier localmente compacto abelian grupo y la categoría de todos estos grupos es generalmente denotado $\mathbf{LCA}$. En cualquier grupo existe una única traducción invariante de la medida la medida de Haar que permite que todas las definiciones usuales para llevar a este más generales de configuración. Hay una colección de resultados de la llamada dualidad de Pontryagin , que responde a su pregunta de la transformada de Fourier (es un functor) y también generaliza familiar de los resultados acerca de la transformada de Fourier en los habituales espacios de $\mathbb{R}, \mathbb{T}, \mathbb{Z}$ $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ a cualquier LCA grupo.
¿Qué significa decir que la transformada de Fourier es un functor? Para cualquier LCA grupo $G$ puede identificar su doble objeto de $\hat{G}$, la colección de todas continua homomorphisms $\chi : G \rightarrow \mathbb{T}$ llamados caracteres. Por ejemplo, el doble de $\mathbb{T}$ $\mathbb{Z}$ y esto le da a la teoría de series de Fourier. Resulta que $\hat{G}$ es también un ACV grupo. Ahora supongamos que tenemos dos grupos de $G$ $H$ $\mathbf{LCA}$ y un homomorphism $f : G \rightarrow H$. Hay una forma canónica a otra homomorphism $\hat{f} : \hat{H} \rightarrow \hat{G}$. Si $\chi \in \hat{H}$$g \in G$, luego $$\hat{f}(\chi)(g) = \chi(f(g)).$$ El proceso de asignar a cada grupo en $\mathbf{LCA}$ su doble grupo es functorial.
Ya que el dual de un ACV grupo es también un ACV grupo, que podemos hacer acerca de la doble doble. Y la dualidad de Pontryagin dice que el mapa de $G \rightarrow \hat{\hat{G}}$ es un muy buen uno. Esto es análogo a la doble doble de un número finito de dimensiones de espacio vectorial.
Entonces, ¿qué acerca de la transformada de Laplace? Ahora a cada LCA grupo $G$ nos fijamos en el continuo homomorphisms $\chi : G \rightarrow \mathbb{C}^{\times}$. Hemos cambiado el codominio de la unidad de círculo para el grupo multiplicativo de los números complejos. Resulta que la colección de todos los homomorphisms es el grupo topológico $\text{Hom}(G,\mathbb{C}^{\times})\simeq\hat{G} \times \text{Hom}(G,\mathbb{R})$. Para una referencia para todo esto, ver el libro Conmutativa Análisis Armónico o este papel por Mackey.
En cuanto a si o no la transformada de Laplace es un functor, usted juega el mismo juego que antes. Vamos a tomar dos grupos de $G$ $H$ $\mathbf{LCA}$ y un continuo homomorphism $f : G \rightarrow H$. Hay una forma canónica para definir un mapa $$\hat{f} : \hat{H}\times\text{Hom}(H,\mathbb{R}) \rightarrow \hat{G}\times\text{Hom}(G,\mathbb{R})$$ de modo que la asignación actúa como un functor? Generalmente hay Una sola Manera de hacer estas cosas, así que vamos a tratar. Dado un elemento $(\chi,\lambda) \in \hat{H}\times\text{Hom}(H,\mathbb{R})$ $g \in G$ queremos definir un mapa de $\hat{f}(\chi,\lambda)$ que come $g$ y escupe un elemento de $\mathbb{C}^{\times}$. Considere la posibilidad de $$\hat{f}(\chi,\lambda)(g) = \chi(f(g))e^{\lambda(f(g))}$$ donde yo he usado la notación de la reserva vinculado anteriormente.
Usted debe comprobar si este proceso satisface las propiedades de un functor. Estoy bastante seguro de que lo hace, pero no soy de los que con conocimiento en la categoría de teoría. También tendría que preguntar, ¿cuál es la categoría de destino? Creo que sería la colección de todos los grupos topológicos de la forma $\hat{G}\times\text{Hom}(G,\mathbb{R})$ algunos $G \in \mathbf{LCA}$ y el conjunto restringido de morfismos inducida por el continuo homomorphisms $G \rightarrow H$. Tal vez alguien con más categórica conocimiento va a venir y comentar sobre esta respuesta, que es demasiado largo para un comentario?
