Deje que$f>0$ sea diferenciable en$[0,\infty)$. Supongamos$\lim \limits_{x \to \infty} (\log\circ f)^\prime(x) < 0$. Demuestre que$\int_0^\infty f$ converge.

Question

Así que lo recogí de los supuestos acerca de la $f$, ya que el $(\log\circ f)^\prime(x)=\frac{f^\prime(x)}{f(x)}$ significaría que lo suficiente, $f^\prime(x)<0$. No sé cómo ir sobre esto de aquí.

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Otra pregunta en el mismo tipo de área que actualmente estoy luchando con infructuosamente, suponiendo que $f$ es aún positiva y diferenciable en $[0,\infty)$ - ahora los números dados son diferentes:

Suponga que $\int_0^\infty f$ existe, y que $f^\prime$ está acotada. Mostrar que $\lim \limits_{x\to\infty} f(x)=0$.

Acerca de esta pregunta, estoy pensando acerca del teorema de Lagrange, y utilizando el criterio de Cauchy para la convergencia de las integrales impropias para mostrar (de alguna manera) que $f(x)$ puede hacerse arbitrariamente pequeña suficientemente lejos. Que no se me de muy lejos, y la frustración rápidamente se produjo.

Agradezco cualquier pensamientos y consejos, me siento como que me falta algo bastante obvio..

Gracias!

Answer 1

Dado que$\displaystyle{\lim_{x\to\infty} (\log\circ f)^\prime(x) < 0}$, hay algunos$N\in[0,\infty)$ y algunos$c>0$, tales que$(\log\circ f)^\prime(x)<-c$ para todos$x\geq N$.

Deje$x>N$, luego, según el teorema del valor medio, existe un$y\in[N,x]$ tal que$$(\log\circ f)(x) = (\log\circ f)(N)+(x-N)(\log\circ f)^\prime(y)< (\log\circ f)(N)+(x-N)(-c).$ $ Por lo tanto,$f(x)<f(N)e^{-cx+cN}$ para todos$x\geq N$.

Ahora$${\int_N^\infty} f(x)\,\mathrm{d}x < \int_N^\infty f(N)e^{-cx+cN}\,\mathrm{d}x = \left[f(N)\left(-\frac{1}{c}\right)e^{-cx+cN}\right]_N^\infty = \frac{f(N)}{c}.$ $

Por lo tanto,$\displaystyle{\int}_0^\infty f(x)\,\mathrm{d}x < \int_0^N f(x)\,\mathrm{d}x + \frac{f(N)}{c}<\infty$.

Answer 2

La idea aquí es que tenemos un diferencial de la desigualdad de la forma $f'(x) \leq Cf(x)$. Lo que esto dice es que el $f$ está creciendo más lentamente que una función exponencial, y así es integrable.

Algunos detalles:

Elija $N$ e $\epsilon_0 < 0$ lo $\frac{f'(x)}{f(x)} \leq \epsilon_0$ para todos los $x \geq N$. Ahora considere la función $g(x) = f(x)e^{-\epsilon_0 x}$. Diferenciar $g$ encontrar $g'(x) = \epsilon_0 f(x) e^{-ax} + f'(x) e^{-ax} \leq 0$ para $x$ grandes. Por lo $g(x)$ disminuye para $x$ grandes, y así tenemos una constante$C$, de modo que $g(x) \leq C$ para $x$ grandes. Por lo tanto $f(x) \leq Ce^{\epsilon_0 x}$. Desde $\epsilon_0 < 0$, tenemos $f$ integrable.

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Para la segunda pregunta, he aquí una idea que conduce a una solución que se siente poco elegante, pero funciona. Si la función no converge a cero, hay algunos $\epsilon > 0$ y una secuencia $x_n$ números hasta el infinito (lo suficientemente espaciado... pensar acerca de por qué esto es importante), de modo que $f(x_n) \geq \epsilon$. Lo que hace de esta condición y el derivado obligado decir sobre el área bajo la gráfica?