Una representación de Dirac -$\delta$

Question

Demostrar que $$g_\epsilon (x)=\lim_{\epsilon \to 0} \frac1 \epsilon \frac1 \pi e^{-x^2/\epsilon^2}$$ es una de Dirac-$\delta$ función.

---

Esta es una tarea pregunta estoy atascado con. Probablemente estoy perdiendo una muy simple punto, y parece que no puede averiguar. Cualquier ayuda para preguntar en la dirección correcta sería muy apreciada.

Lo que he hecho hasta ahora es la siguiente.

Necesito mostrar que, $$\int_{-\infty}^\infty f(t)g_\epsilon (x)dt=f(0)$$ Así que vamos a $t=\epsilon x$, $$\lim_{\epsilon \to 0} \int_{-\infty}^\infty f(t) \frac1 \epsilon e^{-x^2/\epsilon^2}dt=$$ $$\stackrel{t=\epsilon x}{=}\lim_{\epsilon \to 0} \int_{-\infty}^\infty f(\epsilon x) \frac1 \epsilon \frac1 \pi e^{-x^2/\epsilon^2}\epsilon dx$$ $$=f(0) \frac1 \pi \lim_{\epsilon \to 0} \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2/\epsilon^2} dx$$ Y desde $\lim_{\epsilon \to 0} \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2/\epsilon^2}=0$, el resultado es $0$, no $f(0)$.

Otro enfoque fue sólo $t=x$, de modo que $\lim_{\epsilon \to 0} \int_{-\infty}^\infty \frac1 \epsilon e^{-x^2/\epsilon^2}=\sqrt\pi$ anularía con $1/\pi$, pero luego yo me quedo con la $f(x)$ en lugar de $f(0)$.

Answer 1

Como Jordan señaló en un comentario, si exigimos$\int_{-\infty}^{\infty} f(t) g_{\epsilon} (t) dt = f(0)$ y dejamos que$t=\epsilon x$ entonces

PS

PD: Creo que necesitas$$\int_{-\infty}^{\infty} f(t) g_{\epsilon} (t) dt = \lim_{\epsilon\to 0} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \frac{1}{\epsilon\sqrt{\pi}}e^{-t^2/\epsilon^2}dt =\\ \lim_{\epsilon\to 0} \int_{-\infty}^{\infty} f(\epsilon x) \frac{1}{\epsilon\sqrt{\pi}}e^{-x^2} \epsilon dx = \int_{-\infty}^{\infty} f(0) \frac{1}{\sqrt{\pi}}e^{-x^2} dx =\\ f(0) \frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \sqrt{\pi} = f(0) $ al definir$\sqrt{\pi}$.