Cuestión de notación con integrales de línea sobre campo vectorial

Question

Pregunta anterior: ¿Qué es la convención en la parametrización de la longitud del arco?

Esta es una pregunta de seguimiento a mi anterior post sobre las integrales de línea que van en direcciones opuestas. Al principio pensé que lo había entendido, pero luego me surgió otra pregunta. Mi texto denota la parametrización suave de $C$ por $\mathbf r: [a, b] \rightarrow C$ y utiliza $u \in [0, L]$ como parámetro de longitud de arco. La integral de línea de un campo vectorial es:

$$\int_{C}\ F \cdot \mathbf T(u)\ du = \int_a^b\ F \cdot \mathbf r'(t)\ dt = \int_{C}\ F \cdot d \mathbf r$$

Mi mejor entendimiento de la última notación es tomar la integral a lo largo de $C$ como $\mathbf r$ varía. Entonces, el texto dice que si tomas la integral de línea del campo vectorial en la dirección opuesta, obtendrás el negativo:

$$-\int_{C}\ F \cdot d \mathbf r = \int_{-C}\ F \cdot d \mathbf r$$

No soy capaz de conciliar las distintas anotaciones. A mi pregunta anterior, el Sr. John D. escribió:

$$\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{s}=\int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{c}(t))\cdot\mathbf{c}'(t)\,dt=-\int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{d}(t))\cdot\mathbf{d}'(t)\,dt=-\int_{-C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{s}$$

donde $\mathbf c, \mathbf d$ son parametrizaciones de $C$ que se mueven en direcciones opuestas. Por lo tanto, la igualdad del medio tiene sentido; sigue el cambio de variable. ¿Qué pasa con la primera y la tercera igualdad? Si $\mathbf s\ \text{(or}\ \mathbf r \text{)}$ parametriza $C$ en una dirección, ¿cómo se puede utilizar lo mismo para parametrizar $C$ en la dirección opuesta, por lo que se obtiene $-\int_{C}\ F \cdot d \mathbf s = \int_{-C}\ F \cdot d \mathbf s$ ? En mi opinión, tiene más sentido escribir $-\int_{C}\ F \cdot d \mathbf s = \int_{-C}\ F \cdot d (\mathbf -s)$ . ¿Cuál es su veredicto al respecto?

Answer 1

Mi mejor entendimiento de la última notación es tomar la integral a lo largo de $C$ como $\mathbf r$ varía.

No del todo. Tenga en cuenta que $\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{s}$ es simplemente un dispositivo de anotación que por definición significa $\int_a^b\mathbf{F}(\mathbf{c}(t))\cdot\mathbf{c}'(t)\,dt$ y eso responde a tu pregunta: $\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{s}$ significa $\int_a^b\mathbf{F}(\mathbf{c}(t))\cdot\mathbf{c}'(t)\,dt$ lo que significa que a un valor determinado del parámetro $t$ evaluamos $\mathbf{F}(\mathbf{c}(t))$ y salpicar eso con $\mathbf{c}'(t)$ y acumularlos como $t$ varía de $a$ a $b$ (para que $\mathbf{c}(t)$ traza hacia fuera $C$ ). En otras palabras, en cada $t\in[a,b]$ calculamos el componente de $\mathbf{F}(\mathbf{c}(t))$ en la dirección del vector velocidad de parametrización $\mathbf{c}'(t)$ y acumularlos a lo largo de $a\le t\le b$ durante el cual $\mathbf{c}(t)$ traza hacia fuera $C$ .

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Por lo tanto, la igualdad en el medio tiene sentido; sigue el cambio de variable. ¿Qué pasa con la primera y la tercera igualdad?

La primera igualdad no es más que desempatar lo que la notación $\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{s}$ significa . Es la definición de la notación.

Para entender la tercera igualdad, léela de derecha a izquierda (ignorando por el momento los signos menos exteriores): $$ \int_{-C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{s}=\int_a^b\mathbf{F}(\mathbf{d}(t))\cdot\mathbf{d}'(t)\,dt $$ donde la clave aquí es que $\mathbf{d}$ es la parametrización inversa/opuesta (relativa a $\mathbf{c}$ ) de la curva $C$ . Por eso la integración ha terminado $-C$ en lugar de $C$ aquí. Niega ambos lados y tendrás la tercera igualdad.

Dijiste que ya entendías la igualdad del medio.

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Si $\mathbf s\ \text{(or}\ \mathbf r \text{)}$ parametriza $C$ en una dirección, ¿cómo se puede utilizar lo mismo para parametrizar $C$ en la dirección opuesta, por lo que se produce $-\int_{C}\ F \cdot d \mathbf s= \int_{-C}\ F \cdot d \mathbf s$ ? En mi opinión, tiene más sentido tiene más sentido escribir $-\int_{C}\ F \cdot d \mathbf s = \int_{-C}\ F \cdot d(\mathbf -s)$ . ¿Cuál es su veredicto al respecto?

Pero en la notación $\int_{C}\ F \cdot d \mathbf s$ , $\mathbf{s}$ es sólo un símbolo, no es la parametrización--mira al principio de mi respuesta: $\mathbf{c}(t)$ ¡es la parametrización!

Parece decir que cuando se invierte la dirección de la parametrización (es decir, se invierte la orientación en $C$ ), que esperas que acabe negando la integral de línea ¡y eso es lo que ocurre!