$g \circ f$ trivial implica que$Im f \subseteq ker g$

Question

Si$f:X_1 \rightarrow X_2$ y$g:X_2 \rightarrow X_3$ son homomorfismos. Si$g \circ f =0$ implica que$Im f \subseteq ker g$? y como mostrar eso? ¿Tienes un ejemplo? Gracias :)

Answer 1

Toma un elemento$y\in Im f$. Entonces,$y$ es de la forma$y=f(x)$, para algunos$x\in X_1$. Ahora aplique$g$ a$y$. Obtienes$g(y)=g(f(x))=(g\circ f)(x)$, que es cero por supuesto. Como ejemplo, tome$f$ arbitrario y$g(y)=0$ por cada$y\in X_2$.

Answer 2

Si$f(x) \in \operatorname{im}f$ no estaba en$\ker g$, entonces$g(f(x)) \neq 0$

Answer 3

Las cosas en$Im(f)$ parecen$f(x)$, cualquier$y$ tal que$g(y)=0$ está en el núcleo de$g$, y$g(f(x))=0$. Tienes todo lo que necesitas.