Considere la posibilidad de un espacio de Hilbert separable (más de $\mathbb{C}$), y deje $U(t)$ ser un parámetro del grupo de operadores unitarios, de modo que $$ U(t)=e^{iHt} \etiqueta{1} $$ para algunos densamente definido por el operador $H$ como en la Piedra del teorema. Deje $A$ ser cualquiera limitada (en todas partes definido por el operador en el espacio de Hilbert, y definir $$ A(t) = U(t)U(-t). \etiqueta{2} $$ Para los números reales $\omega$ e $\epsilon$ con $\epsilon>0$, quiero definir $$ B := \int_{-\infty}^\infty dt\ \exp(-i\omega t-\epsilon t^2) A(t). \etiqueta{3} $$ Pregunta: Es $B$ bien definido por el operador en el espacio de Hilbert? Si no, es al menos densamente definido? Si la respuesta es "depende", entonces hay una simple necesaria y condición suficiente en $A$ e $H$ tal que $B$ es de al menos densamente definido para todos los $\omega$ y todos los $\epsilon>0$?
Por lo que vale la pena, esta es la razón por la palabra "espectro de desplazamiento" en el título de la pregunta: Al menos ingenuamente, la ecuación (3) implica $HB=B(H+\omega)+O(\epsilon)$. En la física de la jerga, si $H$ es el operador de energía, a continuación, aplicar la $B$ a un "eigenstate" de $H$ cambia su energía por $\omega$, hasta arbitrariamente un pequeño plazo de la orden de $\epsilon$. Ese es el motivo, pero no sé cuando (3) es en realidad bien definida.
