Funciones propias del operador Laplace-Beltrami

Question

Deje $M$ ser un equipo compacto de Riemann colector y $$Lf:=-\operatorname{div} \nabla(f)$$ be the Laplace-Beltrami operator. Let $f$ be a smooth function on $M$. Considere el problema de optimización de minimizar

$$\int_ML(f)f$$

en virtud de la restricción $\int_M |f|^2=1$. Me pregunto cómo probar que si $f$ minimizar la integral de la $\int_ML(f)f$, entonces debe ser un eigenfunction de $L$, es decir, $L(f)=\lambda f$ para algunos $\lambda$.

Sé que puede ser demostrado que $\int_M\|\nabla f\|^2= \int_ML(f)f$ , pero esto puede no ser útil.

Answer 1

Nota $$ \ int_M L (f) f = \ lVert \ nabla f \ rVert ^ 2_ {L ^ 2 (M)} \ geq 0 $$ con igualdad si y solo si $\nabla f=0$ en casi todas partes. Por lo tanto, cualquier minimizador suave $f$ tiene un derivado cero en todas partes, por lo tanto, es constante a nivel local. Pero tales funciones son funciones propias de $L$ con valores propios $0$ .