Integración la UE

Question

Bien lo que yo estaba pensando era integrar la integral indefinida en primer lugar.

$u=x^2$, $x=\sqrt u$

$du=2xdx = 2\sqrt {u} dx$

$dx= \frac{1}{2\sqrt{u}}du$

$\int xe^{x^2} dx = \int \sqrt{u}\frac{1}{2\sqrt{u}} du =\frac{1}{2}\int e^u du = \frac{1}{2}e^u =\frac{1}{2}e^{x^2} +C$

Ahora puedo evaluar $\frac{1}{2}e^{x^2}\Big|_0^2= \frac{1}{2} e^{4} -\frac{1}{2} e^0 =\frac{1}{2}e^4-1$

así que mi respuesta debería ser $$\frac{1}{2}e^4-1$$

Es esto correcto? Ha sido un tiempo desde que he hecho cosas como esta.

Answer 1

Te refieres a $\frac12 e^4-\frac12$ .

Answer 2

También, se podría establecer

$g(x) = e^{x^2}; \tag 1$

entonces

$g'(x) = 2xe^{x^2}; \tag 2$

entonces

$\displaystyle \int_0^2 xe^{x^2} \; dx = \dfrac{1}{2} \int_0^2 g'(x) \; dx = \dfrac{1}{2}(g(2) - g(0))$ $= \dfrac{1}{2}(e^{2^2} - e^0) = \dfrac{1}{2} (e^4 - 1) = \dfrac{1}{2}(e^4 - 1) = \dfrac{1}{2}e^4 - \dfrac{1}{2}. \tag{3}$

Si se quiere utilizar las integrales indefinidas, escribimos

$\displaystyle \int xe^{x^2} \; dx = \dfrac{1}{2} \int g'(x) \; dx = \dfrac{1}{2}g(x) + C = \dfrac{1}{2}e^{x^2} + C, \tag 4$

y, a continuación, proceder a tomar

$g(2) - g(0) = \dfrac{1}{2}e^4 - \dfrac{1}{2}; \tag 5$

la constante de integración $C$ de curso ha sido cancelada de esta expresión.