Calcula

Question

Calcular $\lim \limits_{n\to \infty} \frac{1}{n}\sum_{i,j=1}^n\frac{1}{\sqrt{i^2+j^2}}$ .
No estoy buscando una solución usando integrales dobles. Traté de convertir esto en una suma de Riemann, pero no pude hacer ningún progreso.
Pensé en usar el teorema de compresión, pero no puedo encontrar ninguna desigualdad útil, solo traté de usar AM-GM en el denominador, pero no sirvió de nada.
Edit: Esto es definitivamente solviable sin integrales dobles, viene de un libro de secundaria y aquí el cálculo multivariado no está cubierto.

Answer 1

Indique el límite que tiene que calcular por $L$ .
Podemos aplicar el teorema de Stolz-Cesaro para obtener ese $L=\lim\limits_{n\to \infty}\left(2\sum_{i=1}^{n-1}\frac{1}{\sqrt{n^2+i^2}}+\frac{1}{\sqrt{2n^2}}\right)$ .
Dado que $\lim\limits_{n\to \infty}\frac{1}{\sqrt{2n^2}}=0$ y $\lim\limits_{n\to \infty}\sum_{i=1}^{n-1}\frac{1}{\sqrt{n^2+i^2}}=\int\limits_0^1\frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}=\ln(1+\sqrt 2)$ , obtenemos ese $L=2\ln(1+\sqrt 2)$ .

Answer 2

Definir $$u_n=\sum_{\substack{1 \leq i,j \leq n \\ i=n \text { or } j=n}}{(i^2+j^2)^{-1/2}}.$ $

Quieres encontrar $\lim \, \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n{u_k}$ .

Es, siempre que converge $\{u_n\}$ , el límite de $\{u_n\}$ .

Ahora, $u_n=2v_n-(\sqrt{2}n)^{-1}$ donde $v_n=\sum_{k=1}^n{\frac{1}{\sqrt{n^2+k^2}}}$ .

Ahora, $v_n=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n{(1+(k/n)^2)^{-1/2}} \rightarrow \int_0^1{\frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}}=\operatorname{arsinh}(1)$ .

Por lo tanto, su límite es $2\operatorname{arsinh}(1)$ .

Answer 3

Insinuación:

PS

PS

PS

Answer 4

Consejo : Convertir en integral doble da $$ \ int _ {[0,1] ^ 2} \ frac {1} {r} \, \ mathrm {d} \ mathcal {L} ^ 2 (x, y) = \ int_0 ^ {\ pi / 2} \ int_0 ^ {\ min (\ sec \ theta, \ csc \ theta)} \, \ mathrm {d} r \, \ mathrm {d} \ theta $$