Calcular

Question

Calcular el $$\lim _{x\rightarrow 0}\frac{1}{x^2} \int\limits^{1-\cos x}_{\sqrt[3]{ x^7}} \ln (2+\tan^2 t)\,dt$$

Mi solución:

Vamos a: $$f(x)=\int^{1-\cos x} _{\sqrt[3]{ x^7}} \ln (2+\tan^2 t)\,dt$$ $$g(x)=x^2$$For $x\rightarrow 0$ tenemos $f,g \rightarrow 0$. Así que a partir de la regla de L'Hôpital: $$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{f'(x)}{g'(x)}=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\ln (2+ \tan ^{2} (1-\cos x)) \cdot \sin x -\ln (2+\tan^{2} (x^{\frac{7}{3}})) \cdot \frac{7}{3} \cdot x^{\frac{4}{3}})}{2x}=\ln 2$$
Y luego, tengo una pregunta: ¿cómo puedo demostrar que puedo usar la regla de L'Hôpital? Creo que debo decir que para $x\rightarrow 0$ para $f$ tengo una integral de $0$ a $0$ lo $f(x)=0$.

Pero necesito una profesional de la explicación, por lo que yo estoy pidiendo una justificación detallada de por qué puedo usar esta regla.

Answer 1

Deje $u=x^{7/3},v=1-\cos x$ , de modo que tanto $u, v$ tienden a $0$ con $x$. Deje que el integrando se denota por $f(t) $ , de modo que $f(t) =\log(2+\tan^2t)$ e $f(0)=\log 2$.

Es necesario el empleo de L'Hospital de la Regla y se puede utilizar el Teorema Fundamental del Cálculo más eficiente de aquí. La expresión debajo del límite puede ser escrito como $$\frac{1}{x^2}\int_{u}^{v}f(t)\,dt=\frac{v}{x^2}\cdot\frac{1}{v}\int_{0}^{v} f(t) \, dt-\frac{u} {x^2}\cdot\frac{1}{u}\int_{0}^{u}f(t)\,dt$$ Next note that $u/x^2\a 0,v/x^2\a 1/2$ and therefore by FTC we have the desired limit as $$\frac{1}{2}\cdot f(0)-0\cdot f(0)=\frac{1}{2}\log 2$$

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El uso de L'Hospital de la Norma está bien aquí, porque tanto el numerador (integral) y el denominador ($x^2$) tienden a $0$ y estas funciones son diferenciables cerca de $0$, pero su uso es algo complicado e innecesario aquí.