Comprobando si$f: \Phi_1 \to \Phi_2 \; ; f_1(\theta, v) \mapsto f_2(\theta, \sinh v)$ es una isometría.

Question

Ejercicio :

Considerar las superficies : $$\Phi_1 : f_1(\theta, v) = \left( \cos \theta \cosh v, \sin \theta \cosh v, v\right), \; (\theta, v) \in (0,2 \pi) \times \mathbb R$$ $$\Phi_2 : f_2(\phi, u) = \left( u\cos \phi , u\sin \phi, \phi\right), \; (\theta, v) \in (0,2 \pi) \times \mathbb R$$ Comprobar si la siguiente asignación es una isometría entre ellos : $$f: \Phi_1 \to \Phi_2 \;; f_1(\theta, v) \mapsto f_2(\theta, \sinh v)$$

Pensamientos-Pregunta :

Para empezar, esta es una Geometría Diferencial relacionadas con la cuestión que yo no soy la que se experimentó, por lo tanto, si se siente trivial, disculpe.

Desde mi experiencia continua, el interés y el estudio de un conjunto differnt tema (Análisis Funcional - Operador de la Teoría), yo sé muy bien que una Isometría Lineal es essentialy lograr si $\|Av\|_Y = \|v\|_X$ donde $A:X \to Y$ es un operador lineal. Esto significa que se distancia de la preservación. Es un mundial isometría si también es surjective.

Ahora, una similar correspondencia que se puede encontrar en la Geometría Diferencial. Específicamente, si tenemos $2$ superficies, $\Phi_1$ e $\Phi_2$, entonces la función de $f: \Phi_1 \to \Phi_2$ es una isometría si y sólo si $f:\Phi_1 \to \Phi_2$ es un diferenciable de asignación que es un inective y surjective local isometría.

Ahora, estoy teniendo un tiempo difícil probar las siguientes afirmaciones. Primero de todo, quiero empezar por la construcción de mi función como se indica por el ejercicio de cuerpo :

$$f(f_1(\theta,v)) = f_2(\theta, \sinh v)$$ $$\implies$$ $$f(\cos\theta\cosh v, \sin \theta\cosh v, v) = (\sinh v \cos \theta, \sinh v\sin \theta, \theta)$$

Así, la comprobación de las declaraciones necesario, en primer lugar, que $f$ es diferenciable.

Ahora, ¿cómo hace uno para mostrar que esta $f$ es inyectiva y surjective ?

También, ¿qué acerca de la isometría local ? Sé que podamos comprobar si es una isometría local o no, ya que las cantidades fundamentales de la forma fundamental debe obligar a las siguientes relaciones : $$E_p = E_{f(p)}, \; F_p = F_{f(p)}, \; G_p = G_{f(p)}$$

Yo soy una especie de confusión en los cálculos de las cantidades fundamentales, aunque. En un resuelto (pero bien elaborado) ejemplo he visto, uno primero tiene que calcular la inversa de $f$ y luego correlacionar el argumento de $f$ , con lo que es asignado.

Realmente agradecería cualquier cuidadosa elaboración que me puede ayudar cómo manejar mostrando la inyectividad, surjectivity pero el más importante es cómo encontrar fundamentales de las cantidades mencionadas.

Answer 1

Vamos a tratar de hacer la pregunta un poco más preciso. Definir

$$ S_1 = \{ f_1(\theta, v) \, | \, (\theta, v) \en (0,2\pi) \times \mathbb{R} \} \subseteq \mathbb{R}^3_{x,y,z}, \\ S_2 = \{ f_2(\phi, u) \, | \, (\phi, u) \en (0,2\pi) \times \mathbb{R} \} \subseteq \mathbb{R}^3_{a,b,c}. $$

A continuación, $S_1,S_2$ son ambas superficies paramétricas en $\mathbb{R}^3$. En orden para hacer las cosas menos confuso, es cómodo pensar en cada una de las $S_i$ como vivir en una copia diferente de $\mathbb{R}^3$. Para enfatizar este punto, puedo dar nombres diferentes a las coordenadas de $\mathbb{R}^3$ en el que cada una de las $S_i$ vida (lo que a mi no notación estándar $\mathbb{R}^3_{x,y,z},\mathbb{R}^3_{a,b,c}$ media).

Las funciones de $f_i \colon (0,2\pi) \times \mathbb{R} \rightarrow S_1$ dada por las fórmulas anteriores son globales en el proceso de parametrización para las superficies $S_i$. Vamos a escribir $$ f_1(\theta,v) = (x(\theta,v), y(\theta,v),z(\theta,v)). $$ La función de $f_1$ es uno-a-uno y en $S_1$ por lo tanto, dado un punto de $p = (x_0,y_0,z_0) \in S_1$, tenemos un único punto de $$f^{-1}(p) = f^{-1}(x_0,y_0,z_0) = (\theta(p), v(p)) = (\theta(x_0,y_0,z_0), v(x_0,y_0,z_0))$$ tal que $$ f_1(\theta(p),v(p)) = f_1(\theta(x_0,y_0,z_0),v(x_0,y_0,z_0)) = p $$ y lo mismo para $f_2$.

Ahora, vamos a definir un mapa de $F \colon S_1 \rightarrow S_2$ por la fórmula $$ F(p) = f_2(\theta(p), \sinh v(p)). $$ Esto está relacionado con su definición por si escribimos $p = f_1(\theta,v)$luego $$ F(f_1(\theta,v)) = f_2(\theta, \sinh v). $$ La representación local del mapa $F$ entre las superficies es el mapa $$\tilde{F} = f_2^{-1} \circ F \circ f_1 \colon (0,2\pi) \times \mathbb{R} \rightarrow (0,2\pi) \times \mathbb{R}$$ y está dada por $$ \tilde{F}(\theta,v) = (\theta, \sinh v). $$

Se le pregunta si $F$ es una isometría entre $S_1$ e $S_2$. Para $F$ a ser una isometría, es necesario satisfacer dos condiciones:

1. El mapa de $F$ debe ser de uno a uno y sobre.
2. Para todos los $p \in S_1$ e $v,w \in T_p(S_1)$, debemos tener $\left< v, w \right> = \left< dF|_p(v), dF|_p(w) \right>$. Que es, $F$ debe infinitesimalmente conservar la longitud de los vectores de tangentes. Aquí, $dF \colon T_p(S_1) \rightarrow T_{F(p)} S_2$ es el diferencial del mapa de $F$.

Ahora, resulta que, en lugar de comprobar directamente de las definiciones de $F$, se puede deducir de todo, desde la representación de $\tilde{F}$ del mapa $F$. Es decir, $F$ será una isometría si y sólo si:

1. El mapa de $\tilde{F}$ debe ser de uno a uno y sobre.
2. El mapa de $\tilde{F}$ necesita preservar los (las representaciones locales de la primera forma fundamental. Para cada una de las $(\theta,v) \in (0,2\pi) \times \mathbb{R}$, debemos tener $$ E_1(\theta,v) = E_2(\tilde{F}(\theta,v)), F_1(\theta,v) = F_2(\tilde{F}(\theta,v)), G_1(\theta,v) = G_2(\tilde{F}(\theta,v)) $$ donde $E_i,F_i,G_i$ son los coeficientes de la primera forma fundamental de la $S_i$ con respecto a la parametrización de la $f_i$.

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¿Cómo podemos calcular el $E_i,F_i,G_i$? Por las fórmulas

$$ E_1(\theta,v) = \left< \frac{\partial f_1}{\partial \theta}, \frac{\partial f_1}{\partial \theta} \right>, \,\, F_1(\theta, v) = \left< \frac{\partial f_1}{\partial \theta}, \frac{\partial f_1}{\partial v} \right>, \,\, G_1(\theta, v) = \left< \frac{\partial f_1}{\partial v}, \frac{\partial f_1}{\partial v} \right> $$ y del mismo modo $$ E_2(\phi,u) = \left< \frac{\partial f_2}{\partial \phi}, \frac{\partial f_2}{\partial \phi} \right>, \,\, F_2(\phi, u) = \left< \frac{\partial f_2}{\partial \phi}, \frac{\partial f_2}{\partial u} \right>, \,\, G_2(\phi, u) = \left< \frac{\partial f_2}{\partial u}, \frac{\partial f_2}{\partial u} \right>. $$

Por ejemplo,

$$ E_1(\theta,v) = \left< \frac{\partial f_1}{\parcial \theta}, \frac{\partial f_1}{\parcial \theta} \right> = \| \left( -\sin \theta \cosh v, \cos \theta \cosh v, 0 \right) \|^2 = \cosh^2(v), \\ E_2(\phi, u) = \left< \frac{\partial f_2}{\parcial \phi}, \frac{\partial f_2}{\parcial \phi} \right> = \| \left( -\sin \phi u, \cos \phi u, 1 \right) \| = 1 + u^2$$

y hemos hecho ver que $$\cosh^2(v) = E_1(\theta,v)) = E_2(\tilde{F}(\theta,v)) = E_2(\theta, \sinh v) = 1 + \sinh^2 v. $$

Voy a dejar el resto de los cálculos por usted.