Características de un bonito anillo.

Question

Este es un problema de una prueba tomé el día de hoy.

Definición: Un bonito anillo de $R$ es un anillo con unidad 1, no un campo, y cada elemento distinto de cero puede escribirse de forma única como suma de una unidad y un nonunit elemento de $R$.

El primer problema, que es mucho más fácil, es encontrar un anillo. Una obtuvo dificultad al principio, pero se salió con $$R = \left\{\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix}\mid a,b \in \mathbb{Z}_2\right\}$$ con la costumbre de operación realizada en el modulo $2$.

El último problema que no puedo resolver aún es encontrar todas las posibles característica de bonito anillo.

De algún experimento con casi el mismo anillo, llegué a la conclusión de que un bonito anillo sólo tiene carácter 2. Pero, yo no puedo probarlo para el caso general.

Answer 1

Nos muestran que un bonito anillo tiene exactamente una unidad. De hecho, si $0 \neq u$ no es una unidad y $e$ es una unidad, entonces $$ (u+e) + 0 = e + u $$ nos dice que $u+e$ no es una unidad (de lo contrario tenemos la contradicción $u=0$). Nowe tomar dos unidades de $e, \tilde{e}$ luego $$ e + (u+ \tilde{e}) = \tilde{e} + (u+ e) $$ implica $e=\tilde{e}$ y, por tanto, $1$ es la única unidad.

Por otro lado cada anillo con sólo una unidad es un bonito anillo como podemos escribir todas las $x\neq 0$como $$ x = 1 + (x-1).$$

Por lo tanto, tenemos por un unital anillo de $R\neq \mathbb{Z}/2 \mathbb{Z}$: $$ R \text{ is a pretty ring} \quad \Leftrightarrow \quad \vert R^\times \vert =1 $$ En particular, el $-1=1$ y por lo tanto un bonito anillo tiene la característica igual a $1$ o $2$. Tenga en cuenta que ambos casos son posibles como el cero del anillo es un bonito anillo.

Más corto de la prueba: Suponga que que la característica de la bonita anillo no es $2$. A continuación se obtienen a partir de $1+0=-1+2$ debe ser una unidad. Deje $u\neq 0$ ser un no-unidad (existe como un bonito anillo, no es un campo), a continuación, $1+0=(u+1) - u$ implica que $u+1$ no es una unidad. A continuación se obtienen a partir de $(u+1)+1=u +2$ que $0=1$, es decir,. nuestro bonito anillo es el cero del anillo. Por lo tanto, un bonito anillo tiene características de las $1$ o $2$.

Answer 2

Sólo una respuesta parcial. Supongamos $n \geq 3$ ser la característica de anillo. A continuación, $n.1 = 0$ implica que $ 1 = -(n-1).1 = -(n-2).1 + (-1).1$, desde el $-1$ es de la unidad. Si $-(n-2).1$ no es la unidad, a continuación, por la singularidad llegamos $-(n-2).1 = 0$ lo que se contradice con que $n$ es la característica. Por lo $-(n-2).1$ debe ser la unidad. Desde $(n-2).1 + 2.1 = 0$, lo que implica que $2.1$ es una unidad. Por lo tanto característica puede no ser $2$, incluso puede no ser un número. Así hemos demostrado que tales $n$ debe ser impar.