¿Es esto cierto? $(A – B)\cap(C–B)=A–(B\cup C)$ ?

Question

El problema en mi libro de texto era : Para todos los conjuntos $A,B$ y $C$ demostrar que $(A–B)\cap(C–B)=A–(B\cup C)$ Probé el problema durante una media hora. Finalmente traté de dibujar un diagrama de Venn y descubrí que el L.H.S. no era igual al R.H.S. Incluso traté de usar un ejemplo

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Considere los conjuntos $A=\{1,2,3,4\},B=\{3,4,5,6\},C=\{4,8,9,1\}$

(He tomado los conjuntos al azar ya que no había restricciones o condiciones especificadas en el problema).

En el L.H.S obtendrás: $\{1,2\}\cap\{8,9,1\}=\{1\}$

Y en el R.H.S obtendrás : $\{1,2,3,4\}-\{3,4,5,6,8,9,1\}=\{2\}$

Por lo tanto, como se puede ver L.H.S no es claramente igual a R.H.S. ¿Puede alguien verificar esto y si el problema es realmente incorrecto, puede alguien modificarlo?

Answer 1

El problema, tal y como está planteado, es incorrecto, y el ejemplo aportado demuestra que la afirmación es falsa. Sin embargo: el problema podría haber sido un "demostrar o refutar"; en este caso, el ejemplo proporcionado da una refutación correcta.

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Un problema correcto, similar al dado, es demostrar que $$(A\setminus B)\cap (A\setminus C) = A\setminus (B\cup C)$$