La primera pregunta se refiere a la siguiente proposición.
Sea $E_1$ y $E_2$ sean discos cerrados con límites $B_1$ y $B_2$ respectivamente. Entonces, cualquier mapa continuo $\mathit f$ : $B_1$$ \a $$B_2$ puede extenderse a un mapa contiguo F : $E_1$$ \a $$E_2$ . Si $\mathit f$ es un homeomorfismo, entonces también lo es F.
Aquí el disco cerrado se define al espacio topológico que es homeomorfo al disco cerrado unitario(denotado por $E^2$ ) en $\Bbb R^2$ .
El escritor afirma que basta con probar el caso cuando $E_1=E_2=E^2$ y $B_1$ , $B_2$ sea el círculo unitario. Pero no sé cómo demostrar esto.
La segunda pregunta se refiere a la siguiente proposición.
Sea $E_1$ sea el disco cerrado. Sea $E_2$ denotan el espacio cociente de $E_1$ obtenido identificando un segmento cerrado de la frontera de $E_1$ hasta cierto punto. Entonces $E_2$ es de nuevo un disco cerrado.
El autor dice que, en vista de la proposición anterior (en mi primera pregunta), basta con demostrar esta afirmación para el caso de un disco cerrado concreto y un segmento concreto en el límite de ese disco. De nuevo me he quedado atascado. No sé cómo utilizar la proposición anterior.
Creo que son dos preguntas bastante sencillas, pero no sé cómo resolverlas... ¡Gracias por cualquier ayuda o pista!
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Para la primera pregunta: para cualquier disco, digamos $E_1$ con límite $B_1$ existe un homeomorfismo de $E_1$ à $E^2$ cuya restricción a $B_1$ es un homeomorfismo del círculo unitario. ¿Ves por qué esto es cierto? ¿Ves por qué implica la afirmación del escritor?
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Sí. Eso es cierto, que es un ejercicio sobre el libro de Massey. Pero todavía no sé cómo probar ... El punto es que, no sé si debo construir explícitamente tal mapa F de E^2 a E^2 o probar la existencia directamente. Si la afirmación funciona, ya sé qué hacer a continuación.
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Para la segunda pregunta, necesitas demostrar que existe un homeomorfismo $S^1 \rightarrow S^1$ que lleva el primer segmento al segundo. Deberías poder escribir la fórmula. Luego usas el resultado anterior para extender este homeomorfismo a un homeomorfismo del disco. Entonces es un hecho general que si tienes un homeomorfismo relativo $(X,A) \cong (Y,B)$ entonces $X/A \cong Y/B$ .