Demostrar

Question

¿Cómo hacemos esta pregunta utilizando la serie de Maclaurin. Intenté expandirlo poniendo $x \cos x$ en lugar de $x$ en la expansión de Maclaurin de $e^x$ , y luego usar el teorema multinomial para abrir los cuadrados, cubos, etc. de $\cos x$ . ¿Mi enfoque es correcto?

Answer 1

Hay un error de signo en su coeficiente $x^3$ . Con $\equiv$ que denota igualdad hasta $x^5$ términos, $$\exp(x\cos x)\equiv\exp\left(x-\frac{x^3}{2}+\frac{x^5}{24}\right)\\\equiv\left(1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\frac{x^5}{120}\right)\left(1-\frac{x^3}{2}\right)\left(1+\frac{x^5}{24}\right)\\\equiv\left(1+x+\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}-\frac{11x^4}{24}-\frac{29x^5}{120}\right)\left(1+\frac{x^5}{24}\right)\\\equiv 1+x+\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}-\frac{11x^4}{24}-\frac{x^5}{5}.$ $

Answer 2

Desde $x\cos{x} \to 0$ como $x\to 0$, que podría hacer que sí. También puede utilizar esta fórmula : $$f(x)\underset{\mathrm{0}}{=}\sum_{k=0}^\infty\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k$$ donde $$f^{(k)}=\frac{d^kf(x)}{dx^k}$$ Por lo general, si usted quiere encontrar la expansión de algunos compuestos de función $f(g(x))$ en algún punto de $a$, de hacer la expansión de $f$ a $g(a)$ e de $g$ a $a$ (vamos a llamar a $h$) y, a continuación, reemplace $x$ con $h$ en $f$'s de expansión.